[論文レビュー] A residual-based bootstrap for functional autoregressions

Jürgen Franke, Euna Nyarige|arXiv (Cornell University)|May 18, 2019

Statistical Methods and Inference参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間における1次関数的自己回帰過程（FAR(1)）に対して、残差に基づくブートストラップの漸近的妥当性を確立する。中心化された標本innovationの経験分布がモーメンツ距離のもとで真のinnovation分布に収束することを証明することで、標本平均および経験的共分散作用素推定値に関する推論にブートストラップを用いる根拠が得られる。

ABSTRACT

We consider the residual-based or naive bootstrap for functional autoregressions of order 1 and prove that it is asymptotically valid for, e.g., the sample mean and for empirical covariance operator estimates. As a crucial auxiliary result, we also show that the empirical distribution of the centered sample innovations converges to the distribution of the innovations with respect to the Mallows metric.

研究の動機と目的

• 関数的自己回帰モデルの1次モデルにおける残差に基づくブートストラップの理論的妥当性を確立すること。
• 特に、従属的かつ無限次元データの文脈において、関数的時系列の包括的なブートストラップ理論の欠如に対処すること。
• 標本平均や経験的共分散作用素といった主要統計量に関する、リサンプリングに基づく推論の厳密な基礎を提供すること。
• 関数的時系列解析における応用的ブートストラップの使用と理論的裏付けの間のギャップを埋めること。

提案手法

• 中心化された標本innovationから再サンプリングする残差に基づくブートストラップを用いる。ここで $ \hat{\epsilon}_t = X_t - \hat{\Psi}(X_{t-1}) $ であり、$ \hat{\Psi} $ は自己回帰作用素の推定値である。
• 経験的innovation分布が真のinnovation分布に収束するかどうかを測るため、モーメンツ距離を用いる。
• ヒルバート空間枠組みを採用し、$ X_t \in \mathcal{H} $ とする。ここで $ \mathcal{H} $ は一般的に $ L^2[0,1] $ であり、プロセスは $ X_{t+1} = \Psi(X_t) + \epsilon_{t+1} $ とモデル化される。
• 経験的共分散作用素の収束およびモーメンツ距離におけるリサンプリング過程の挙動を通じて、ブートストラップの妥当性を分析する。
• 作用素ノルムおよび確率的バインドを用いて、特に $ \| \Psi - \hat{\Psi}_n \|_{\mathcal{L}} $ と $ d_2(F, \hat{F}_n) $ に注目し、ブートストラップ近似の誤差項を制御する。
• コーシー・シュワルツの不等式およびモーメント条件を用いて、時間インデックス全体にわたるブートストラップ誤差項の一様なバインドを確立し、ブートストラップ誤差が時間インデックスに一様に $ o_p(1) $ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的自己回帰過程の1次モデルに対して、残差に基づくブートストラップは漸近的に妥当か？
• RQ2 中心化された標本innovationの経験分布は、モーメンツ距離のもとで真のinnovation分布に収束するか？
• RQ3 関数的時系列における標本平均および経験的共分散作用素推定値に関する推論に、ブートストラップを信頼して用いることができるか？
• RQ4 ヒルバート空間設定下で、ブートストラップ誤差がどの条件下で漸近的に消えるか？
• RQ5 ブートストラップは、関数的自己回帰における依存構造および作用素推定の不確実性をどのように扱うか？

主な発見

• 関数的自己回帰モデルの1次モデルにおいて、標本平均および経験的共分散作用素推定値に対する残差に基づくブートストラップは漸近的に妥当である。
• 中心化された標本innovationの経験分布は、モーメンツ距離のもとで真のinnovation分布に収束する。
• 共分散作用素推定値のためのブートストラップ誤差は、時間インデックス全体にわたって $ o_p(1) $ のオーダーである。
• モーメント条件、特に $ \text{E}^*\|X_0^\prime\|^3 < \infty $ および $ \text{E}^*\|\epsilon_k^\prime\| < \infty $ の下で、innovation分布の収束が確立される。
• 作用素ノルムのバインドおよびモーメンツ距離を用いてブートストラップ近似誤差を制御し、リサンプリング手順の一貫性を保証する。
• 理論的裏付けは、小規模から中規模の標本サイズでも、関数的時系列における臨界値推定や予測区間の構築にブートストラップを用いることの正当性を支持する。