[論文レビュー] A Residual-Based Petrov-Galerkin Reduced-Order Model with Memory Effects

Eric Parish, Christopher Wentland+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 55被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形マルチスケール力学系に対する残差ベースのペトロフ・ガレルキン型低次元モデル（ROM）を提案する。Mori-Zwanzig形式を用いて、切断された微細スケール動的挙動に起因する記憶効果を捉える閉じた閉包項を導出することで、1次元および2次元の圧縮性ナビエ＝ストークス流れのシミュレーションにおいて、標準的なガレルキン型および最小二乗ペトロフ・ガレルキン型ROMよりも精度が向上することを示している。

ABSTRACT

We formulate a projection-based reduced-ordering modeling technique for non-linear multi-scale dynamical systems. The proposed technique is derived by decomposing the generalized coordinates of a dynamical system into a resolved coarse-scale set and an unresolved fine-scale set. The Mori-Zwanzig formalism is then used to develop a reduced-order representation of the coarse scales. This procedure leads to a closed model that is equivalent to a Galerkin reduced-order model with the addition of a closure term that accounts for the truncated dynamics. The formulation can alternatively be viewed as a Petrov-Galerkin method with a non-linear, time-varying test basis. The spectral radius of the projected Jacobian is shown to be a good approximation of the memory length. Numerical experiments on the compressible Navier-Stokes equations in one and two-dimensions demonstrate that the proposed method leads to improvements over the standard Galerkin ROM and, in some cases, over the least-squares Petrov-Galerkin (LSPG) approach.

研究の動機と目的

• 非線形マルチスケール力学系に対する標準的な低次元モデル（ROM）に記憶効果が欠如している問題に対処すること。
• 解像されない微細スケール動的挙動が解像された粗大スケール挙動に与える影響を捉える閉包項を開発すること。
• ガレルキン射影と、射影された系の残差最小化から導出された非線形かつ時変のテスト基底を組み合わせたROMを定式化すること。
• 複雑な流れのシミュレーションにおいて、標準的なガレルキン型および最小二乗ペトロフ・ガレルキン型アプローチを凌駕するROMの精度を向上させること。

提案手法

• 系の一般化座標を解像された粗大スケール成分と解像されない微細スケール成分に分解する。
• Mori-Zwanzig形式を適用して、切断された動的挙動を記憶依存の閉包項を含む閉じた低次元モデルを導出する。
• 得られたモデルを、射影された系の残差から導出された非線形かつ時変のテスト基底を有するペトロフ・ガレルキン法として再定式化する。
• 射影されたヤコビ行列のスペクトル半径を、閉包項における記憶長の近似として用いる。
• ガレルキン射影フレームワーク内にこの手法を実装し、閉包項を統合して安定性と精度を向上させる。
• 1次元および2次元の空間において圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対してこの手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解像されない微細スケール動的挙動に起因する記憶効果を、非線形マルチスケール系の低次元モデルに体系的に組み込む方法は何か？
• RQ2 時変のテスト基底を有する残差ベースのペトロフ・ガレルキン型定式化は、標準的なガレルキン型および最小二乗アプローチと比較してROMの精度を向上させ得るか？
• RQ3 射影されたヤコビ行列のスペクトル半径は、閉包項における記憶長の信頼できる推定値として機能するか？
• RQ4 提案されたROMは、圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に従う複雑な流体動力学の長時間シミュレーションにおいて、既存手法を上回る性能を示すか？

主な発見

• 記憶効果を有する提案されたROMは、圧縮性ナビエ＝ストークス流れのシミュレーションにおいて、標準的なガレルキン型低次元モデルよりも高い精度を達成している。
• 特に長期間の動的挙動を捉える際に、特定のテストケースにおいて最小二乗ペトロフ・ガレルキン（LSPG）アプローチよりも優れた性能を示している。
• 射影されたヤコビ行列のスペクトル半径は、閉包項における有効な記憶長の信頼できる近似値を提供している。
• 非線形かつ時変のテスト基底を有する残差ベースのペトロフ・ガレルキン定式化は、切断されたスケールに起因する記憶効果を効果的に捉えている。
• 1次元および2次元における数値実験により、非線形マルチスケール系における本手法の頑健性および向上した予測能力が確認された。