[論文レビュー] A resolution of quantum dynamical semigroups

Anilesh Mohari|ArXiv.org|May 18, 2005

Quantum Information and Cryptography参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、フォン・ノイマン代数における再帰的および準安定射影を用いて、量子動的半群の分類を導入し、恒等演算子が再帰的または準安定な直交射影に分解されることを証明している。主な貢献は、有限次元系における準安定性および一時性の必要十分条件の特定であり、古典的マコフ連鎖の概念を非可換な量子力学的ダイナミクスへと拡張している。

ABSTRACT

We consider a class of quantum dissipative systems governed by a one parameter completely positive maps on a von-Neumann algebra. We introduce a notion of recurrent and metastable projections for the dynamics and prove that the unit operator can be decomposed into orthogonal projections where each projections are recurrent or metastable for the dynamics.

研究の動機と目的

• 古典的マコフ連鎖の分類—再帰的および準安定状態—を非可換な量子動的半群の枠組みへと拡張すること。
• 完全正値、正規、弱*-連続な半群としてのフォン・ノイマン代数上での再帰的および準安定射影の定義と特徴付けを行うこと。
• 部分調和射影が準安定または一時的である条件を、特に有限次元ヒルベルト空間において確立すること。
• 有限次元系において、準安定射影は必ず一時的であり、再帰的射影は正再帰的であることを証明し、古典的性質を保存すること。
• タイプ-Iで中心が完全に原子的である条件下で、恒等演算子が直交する再帰的および準安定射影に分解されることを確立すること。

提案手法

• すべての t ≥ 0 に対して τt(p) ≥ p および τt(p) = p を満たす条件により、部分調和および調和射影を導入する。
• 部分調和 p に対して、τtp(x) = pτt(x)p により pA₀p 上での縮小動的を定義し、制限された系の解析を可能にする。
• 強い極限 y = s.limₜ→∞ τt(p) を用いて、1−p を準安定（y が単射）または一時的（y=1）に分類する。
• ノルム連続半群に対して、生成子表現 τt(x) = e^{tY*}xe^{tY} + ∫₀ᵗ e^{(t−s)Y*}Φ(τs(x))e^{(t−s)Y}ds を適用する。
• L*i₁…L*in p が生成する線形空間と p が H₀ を生成するという条件を用いて、一時性の必要十分条件を導出する。
• 命題 2.2 と数学的帰納法を用い、z*τt(p)z の消滅が、Lk および Y の作用による演算子の鎖を消滅させることと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的マコフ連鎖の再帰的および準安定状態への分類が、量子動的半群へと一般化可能か？
• RQ2 量子動的系において、部分調和射影がいつ準安定または一時的であるかの条件は何か？
• RQ3 系の有限次元性が、準安定射影が一時的であり、再帰的射影が正再帰的であることを保証するか？
• RQ4 強い極限 y = s.limₜ→∞ τt(p) が 1 に等しくなるための正確な代数的条件は、リンドブラッド生成子を用いてどのように表現できるか？
• RQ5 特に中心の構造が、再帰的および準安定成分への分解の存在および一意性にどのように影響するか？

主な発見

• タイプ-Iで中心が完全に原子的であるフォン・ノイマン代数において、恒等演算子は再帰的および準安定射影に直交分解可能である。
• 有限次元ヒルベルト空間では、すべての準安定射影は一時的であり、すべての再帰的射影は正再帰的であり、古典的挙動が保存される。
• 部分調和射影 p が一時的（すなわち y=1）であるための必要十分条件は、p およびすべての有限列についての L*i₁…L*in p の像の閉線形包が、全ヒルベルト空間 H₀ に一致することである。
• 一時性の条件はリンドブラッド生成子 (Y, Lk) の選択に依存せず、基準の堅牢性を保証する。
• 有限次元の 1−p に対して、p および L*k の反復像が H₀ を生成することは、一時性の必要十分条件である。
• 有限次元系において再帰的射影が一意に存在することは、一意な不変正規状態の存在を意味し、半群はその状態に関してエルゴード的である。