[論文レビュー] A Review of Tree-based Approaches to solve Forward-Backward Stochastic Differential Equations

Long Teng|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、時間積分項をθ-離散化で扱い、木構造回帰を用いて条件付き期待値を効率的に近似することで、高次元の前向き後向き確率微分方程式（FBSDE）を解く回帰木ベースの数値的手法を提案する。この手法は高い精度と計算効率を達成し、相対誤差と標準偏差が低く抑えられる100次元の価格設定ベンチマーク問題において、マルチレベルモンテカルロ法やディープラーニング手法を上回る性能を示した。

ABSTRACT

In this work, we study solving (decoupled) forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs) numerically using the regression trees. Based on the general theta-discretization for the time-integrands, we show how to efficiently use regression tree-based methods to solve the resulting conditional expectations. Several numerical experiments including high-dimensional problems are provided to demonstrate the accuracy and performance of the tree-based approach. For the applicability of FBSDEs in financial problems, we apply our tree-based approach to the Heston stochastic volatility model, the high-dimensional pricing problems of a Rainbow option and an European financial derivative with different interest rates for borrowing and lending.

研究の動機と目的

• 従来の手法が困難を伴う高次元設定においても、分解可能な前向き後向き確率微分方程式（FBSDE）を効率的に解く数値的手法の開発を目的とする。
• FBSDEにおける条件付き期待値の推定という、数値スキームの主要なボトル neck である計算課題に対処することを目的とする。
• 高次元の金融デリバティブ価格設定問題における木構造回帰の適用可能性と精度を示すこと。
• マルチレベルモンテカルロ法やディープラーニングを含む、既存の最先端手法と比較して、精度、実行時間、収束性の観点から本手法の有効性を検証すること。

提案手法

• FBSDEの時間積分項に対して、一般化されたθ-離散化スキームを採用し、柔軟かつ安定した時間積分を実現する。
• 離散化に伴い生じる条件付き期待値を、状態空間を段階的に分割することで複雑な依存関係をモデル化する回帰木を用いて近似する。
• 本手法は、分解可能なFBSDEおよび後向きSDEの特殊ケースに適用され、オプション価格設定などの金融応用に焦点を当てる。
• 統計的安定性を高めるために、モンテカルロサンプリングにサンプルスプリットを組み合わせ、特に高次元問題に対して有効である。
• 収束性と安定性への影響を分析するため、θの値（例：0, 0.5, 1）を複数テストする。
• θ=1に設定することで、一部の状況においてZ成分の直接計算を回避し、高次元における反復処理を簡素化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 θ-離散化に起因するFBSDEにおける条件付き期待値を、回帰木が効果的に近似できるか？
• RQ2 高次元FBSDEを解くにあたり、木構造アプローチはマルチレベルモンテカルロ法やディープラーニングと比較してどのように性能を発揮するか？
• RQ3 異なるθ値における木構造手法の収束性と計算効率はいかがなっているか？
• RQ4 本手法は、確率的ボラティリティや異なる貸出・貸入金利を有する非線形価格設定問題のような100次元問題においても高い精度を達成できるか？
• RQ5 ルビーレインボー・オプションのような複雑な金融デリバティブに適用した場合、本手法は低分散性と頑健性を維持できるか？

主な発見

• 100次元の非線形価格設定問題において、M=200,000のサンプル数とN_T=10の時間ステップで、相対誤差0.0020を達成。6回のピカール反復を要するマルチレベルモンテカルロ法と比較して、精度と実行時間の両面で優れた性能を示した。
• M=200,000、N_T=10の条件下で、100次元問題の標準偏差は0.0199に留まり、低分散性と高い安定性を示した。
• M=200,000、N_T=10の条件下で、平均実行時間は464.9秒であり、同等の精度を達成するためのマルチレベルモンテカルロ法（7反復）の1915.1秒と比較して、顕著に高速であった。
• M=300,000で100次元問題を解いた場合、相対誤差は0.0017にまで低下し、サンプルサイズの増加に伴う収束が確認された。
• 異なる金利を想定した1次元問題において、M=100,000で相対誤差0.0013を達成。高い精度と低分散性を示した。
• 100次元問題において、実行時間947.7秒（本手法）はディープラーニング手法の566秒を上回るが、同等またはそれ以上の精度を維持した。