[論文レビュー] A review of Voigt's transformations in the framework of special relativity

Ricardo Heras|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

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ひとこと要約

この論文は、1887年にヴォイクトが導出した時空変換についてレビューしている。この変換は波動方程式の共変性と光速度不変の原則に基づき、アインシュタインの特殊相対性理論より前に導出されたものである。ヴォイクトの変換は群をなさないものの、非絶対的時間と自己相似性（共形対称性）を導入しており、スケーリング因子を除いてローレンツ変換と数学的に同等である。ヴォイクトの相対性理論の基礎に果たした役割は、長年にわたり軽視されてきた。

ABSTRACT

In 1887 Woldemar Voigt published the paper "On Doppler's Principle," in which he demanded covariance to the homogeneous wave equation in inertial reference frames, assumed the invariance of the speed of light in these frames, and obtained a set of spacetime transformations different from the Lorentz transformations. Without explicitly mentioning so, Voigt applied the postulates of special relativity to the wave equation. Here, we review the original derivation of Voigt's transformations and comment on their conceptual and historical importance in the context of special relativity. We discuss the relation between the Voigt and Lorentz transformations and derive the former from the conformal covariance of the wave equation.

研究の動機と目的

• 波動方程式の共変性に基づくヴォイクトの1887年の時空変換の導出を再表現・明確化すること。
• アインシュタインの形式化よりも前に特殊相対性理論の主要な仮説を予見していたヴォイクトの業績の概念的・歴史的意義を強調すること。
• ヴォイクトの変換はあまり知られていないが、数学的に整合的で、相対性理論の発展において概念的に深遠であることを示すこと。
• ヴォイクトの変換がd’Alembert作用素の共形不変性から導出可能であることを示し、その起源について新たな視点を提供すること。
• 標準的な相対性理論のカリキュラムや歴史的記述において、ヴォイクトの貢献がより適切に認識されるべきだと主張すること。

提案手法

• 標準的配置におけるd’Alembert作用素を用いて、慣性系の間で均一な波動方程式が共変であるように要求することで、ヴォイクトの変換を導出する。
• 光の速度不変の条件を適用し、空間座標と時間座標の変換則を導出する。
• 偏微分の連鎖則を用いて、∂/∂x、∂/∂t、∂/∂y、∂/∂z の変換則を導出する。
• 得られた偏微分方程式系を解き、x′、t′、y′、z′ をx、t、y、z、vの関数として明示的に得る。
• ヴォイクトの変換とローレンツ変換を比較し、空間的および時間的成分においてγの係数の違いがあることを示す。
• 逆変換を導出し、元の形と整合していることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴォイクトは1887年にどのように時空変換を導出し、どのような物理的原則を暗黙的に用いたのか？
• RQ2 前相対性理論的物理学の文脈において、ヴォイクトの非絶対的時間 t′ = t − vx/c² の概念的意義は何か？
• RQ3 ヴォイクトの変換は、その概念的・歴史的意義にもかかわらず、なぜ標準的な相対性理論教科書で広く認識されていないのか？
• RQ4 ヴォイクトの変換とローレンツ変換の関係は何か？それらの間の数学的関係は？
• RQ5 ヴォイクトの変換はd’Alembert作用素の共形不変性から導出可能か？これにより、時空対称性について何が示唆されるのか？

主な発見

• ヴォイクトは、慣性系の間で波動方程式が共変であるように要求し、光の速度不変を仮定することで、特殊相対性理論の仮説をアインシュタインよりも前に実質的に適用していた。
• 変換式は x′ = x − vt、t′ = t − vx/c²、y′ = y/γ、z′ = z/γ で与えられ、空間的および時間的成分においてローレンツ変換とはγの係数の違いがある。
• ヴォイクトの変換は非絶対的時間 t′ = t − vx/c² を導入しており、時計の進み方が運動状態に依存することを初めて示唆したという点で、相対性理論の核心的洞察の一つである。
• 変換は群をなさないため、これがその広く受け入れられなかったり、標準的な物理学教育課程で目立たない理由の一つであると考えられる。
• ヴォイクトの変換はd’Alembert作用素の共形共変性から導出可能であり、共形時空対称性の初期の例であることが明らかになった。
• 概念的に重要であるにもかかわらず、ヴォイクトの業績は相対性理論の歴史的発展に文書化された影響を持たず、彼は「相対性理論の忘れられた人物」と呼ばれるにふさわしい。