[論文レビュー] A review on contact Hamiltonian and Lagrangian systems

Manuel de León, Manuel Laínz|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2020

Control and Stability of Dynamical Systems被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、接触ハミルトニアンおよびラグランジュ系の包括的レビューを提示し、接触構造およびヤコビ構造を用いた幾何的定式化によってそれらを統一的に扱う。古典的結果（ネーターの定理、ハミルトン＝ジャコビ理論、還元手続き）を散逸系へと拡張し、特異系に適したディラック＝ヤコビ括弧や、制約付き散逸力学に適した非ホロノミック括弧といった新規枠組みを導入する。

ABSTRACT

Contact Hamiltonian dynamics is a subject that has still a short history, but with relevant applications in many areas: thermodynamics, cosmology, control theory, and neurogeometry, among others. In recent years there has been a great effort to study this type of dynamics both in theoretical aspects and in its potential applications in geometric mechanics and mathematical physics. This paper is intended to be a review of some of the results that the authors and their collaborators have recently obtained on the subject.

研究の動機と目的

• 散逸系における接触ハミルトニアンおよびラグランジュ力学の幾何的および変分的基礎を体系化すること。
• シンプレクティック力学の古典的概念（シンプレクティック還元、運動量写像、ネーターの定理など）を接触構造およびヤコビ構造へと拡張すること。
• 特異および非ホロノミック接触系の整合的枠組みの構築、制約アルゴリズムおよびディラック＝ヤコビ括弧を含む。
• ハミルトン＝ジャコビ理論およびコイサイトロピック還元を接触およびヤコビ設定へと一般化すること。
• 熱力学、制御理論、神経幾何学における散逸系の接触幾何学的統一的記述を提供すること。

提案手法

• 作用の微分方程式を含む一般化作用原理に基づき、ヘルクトツの変分原理を用いて接触ラグランジュ系の運動方程式を導出する。
• ラグランジュアンの正則性を仮定して、接触ラグランジュ系とハミルトニアン系との間のルジャンドル変換を適用する。
• 拡張された多様体（T*Q × R および TQ × R）における接触構造およびコシンプレクティック構造を用いて、散逸力学をモデル化する。
• 接触形式とハミルトニアンの微分を用いた同型写像によって、接触ハミルトニアンベクトル場を定義する。
• ヤコビ多様体枠組みにおいて、コイサイトロピック還元および運動量写像技術を用いて、対称性を持つ接触系の還元を行う。
• 特異ラグランジュアンに対する制約アルゴリズムを開発し、最終的な制約部分多様体上にディラック＝ヤコビ括弧を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘリクトツ原理を用いて、接触ラグランジュ系の整合的な運動方程式をどのように導出できるか？
• RQ2 接触ハミルトニアン力学の背後にある幾何的構造は何か？そしてシンプレクティック力学をどのように一般化するか？
• RQ3 ネーターの定理を接触系へと拡張することで、保存量ではなく散逸量を特定できるか？
• RQ4 ハミルトン＝ジャコビ理論を接触多様体およびヤコビ多様体へと一般化し、散逸系を解くことができるか？
• RQ5 接触およびヤコビ幾何学において、部分多様体およびコイサイトロピック還元は、制約付きおよび対称的散逸系にどのように寄与するか？

主な発見

• ヘリクトツ原理は、明示的な散逸項を有する運動方程式を導く接触ラグランジュ系の変分的基礎を提供する。
• 接触ハミルトニアン系は、接触形式とハミルトニアンの微分を用いた修正された同型写像によって定義されるベクトル場によって支配される。
• 接触力学におけるネーターの定理は、対称性に関連する散逸量を導き、シンプレクティック力学における保存量の一般化を実現する。
• 接触幾何学におけるコイサイトロピック還元定理により、対称的散逸系の還元が可能となり、接触構造が保存される。
• 特異ラグランジュアンに対しては、制約アルゴリズムにより最終的な制約部分多様体が得られ、そこにはディラック＝ヤコビ括弧が備わる。これはディラック括弧の一般化である。
• 接触非ホロノミック系に対しては、非ホロノミック括弧が構成され、これはほぼヤコビ構造である。これにより、散逸的非ホロノミック力学の記述が可能になる。