[論文レビュー] A review on instanton counting and W-algebras

Yuji Tachikawa|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$υ(2)$超対称ゲージ理論におけるInstanton数え上げとW代数の関係をレビューし、等置変換局在法を用いたインスタントンモジュライ空間上での計算によって得られるNekrasovの分配関数が、2次元 conformal field theory 構造を実現することを示している。主な貢献は、AGT対応を通じてインスタントン分配関数とW代数の相関関数の間の明確な対応を確立したことであり、$υ(N)$ゲージ群に対して明示的な式が導出され、他の空間およびゲージ群へと一般化されている。

ABSTRACT

This is the third article in the collection of reviews "Exact results on N=2 supersymmetric gauge theories", ed. J. Teschner. It is explained how to compute the instanton partition functions. The results can be written as sums over bases for the equivariant cohomology of instanton moduli spaces. The known results relating the symmetries of these spaces to the symmetries of conformal field theory are reviewed.

研究の動機と目的

• 等置変換局在法とNekrasovの分配関数を用いて、$τ^4$ 上の$υ(N)$ゲージ理論におけるインスタントン数え上げの枠組みを体系的にレビューすること。
• 4次元$υ=2$超対称ゲージ理論から2次元W代数構造がどのように生じるかを明確にすること。
• $υ(2)$から他の古典的および例外的ゲージ群へと、インスタントン分配関数とW代数相関関数の対応を一般化すること。
• 表面オペレーター、軌道、非コンパクトトーリック空間がインスタントン数え上げ枠組みを拡張する役割を果たすかを検討すること。
• 再帰的公式とトポロジカル弦双対性を通じて、AGT対応を統一的に理解すること。

提案手法

• 等置変換局在法を用いて、インスタントンモジュライ空間上の固定点の和としてNekrasovインスタントン分配関数を計算する。
• インスタントン数の和として分配関数を表し、モジュライ空間上のEuler類の等置変換積分で重みづけられる。
• AGT対応を適用して、ゲージ理論の分配関数を2次元W代数の相関関数へ写像し、$υ(N)$ゲージ群が$\mathcal{W}_N$代数に対応することを示す。
• $ς^2$ 及びその解消における吹き上げ公式から導かれる再帰的関係を用いて、$q$ についての順次計算で分配関数を計算する。
• 他の空間、特に軌道$ς^2/\mathbb{Z}_p$ および非コンパクトトーリックCalabi-Yau3-foldへと構成を一般化する。
• 精製されたトポロジカル弦分配関数（精製されたトポロジカルバーテックスを介して）が、$υ_1 \neq \u03c5_2$ のNekrasov分配関数と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $τ^4$ 上の$υ(N)$ゲージ理論におけるインスタントン分配関数は、どのように2次元 conformal field theory 構造を実現するか？
• RQ2 Nekrasov分配関数とW代数相関関数の間の明確な数学的・物理的対応は何か？
• RQ3 インスタントン数え上げ枠組みは、$υ(2)$から他の古典的および例外的ゲージ群へどのように拡張可能か？
• RQ4 表面オペレーターと軌道は、インスタントンモジュライ空間と分配関数にどのように影響を与えるか？
• RQ5 吹き上げ幾何とトポロジカル弦双対性から導かれる再帰的公式は、Seiberg-Witten前位関数をどのように再現するか？

主な発見

• $υ(N)$ゲージ理論におけるNekrasov分配関数は、$\mathcal{W}_N$代数の相関関数と一致し、AGT対応が確立された。
• $ς^2$ 上のインスタントン分配関数の再帰的公式は、吹き上げ方程式から導かれ、ゼロインスタントン寄与は一点であるため、反復的計算が可能である。
• $υ(N)$ゲージ理論に基本ハイパーマトリックスを含む場合、分配関数が明示的に計算され、$υ_1,\u03c5_2 \to 0$ の極限でSeiberg-Witten前位関数と一致する。
• Calabi-Yau3-fold上の精製されたトポロジカル弦分配関数は、$υ_1 + \u03c5_2 \neq 0$ のNekrasov分配関数と一致し、精製されたトポロジカルバーテックス構成が裏付けられた。
• この手法は$E_6$や$E_7$などの例外的ゲージ群へも一般化され、モジュライ空間技法による独立的な計算と一致する。
• インスタントン数え上げとW代数の対応は、非コンパクトトーリック空間および軌道へと拡張され、モジュライ空間構造における制御された差異が示された。