[論文レビュー] A review on symmetry properties of birth-death processes

Antonio Di Crescenzo, Barbara Martinucci|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2015

Opinion Dynamics and Social Influence参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、時定常な出生死滅過程における対称性の性質をレビューし、空間的対称性を実現するための遷移率に関する必要十分条件を確立することで、第一到達時間密度の簡略化と遷移確率の回避を可能にしている。主な貢献は、1次元および2次元の切断型および両側無限型過程（崩壊を伴うものも含む）において、第一到達時間およびタブー確率の正確な表現を可能にする準対称性関係を同定することにある。

ABSTRACT

In this paper we review some results on time-homogeneous birth-death processes. Specifically, for truncated birth-death processes with two absorbing or two reflecting endpoints, we recall the necessary and sufficient conditions on the transition rates such that the transition probabilities satisfy a spatial symmetry relation. The latter leads to simple expressions for first-passage-time densities and avoiding transition probabilities. This approach is thus thoroughly extended to the case of bilateral birth-death processes, even in the presence of catastrophes, and to the case of a two-dimensional birth-death process with constant rates.

研究の動機と目的

• 切断型出生死滅過程（吸収境界または反射境界を有する）における空間的対称性を実現するための出生率および死滅率に関する必要十分条件を特定すること。
• 全崩壊を伴う状態0へのリセットを含む、両側無限型出生死滅過程への対称性に基づく手法の拡張。
• 定数遷移率を有する2次元出生死滅過程における対称性の一般化を図り、特に直線 $x_2 = x_1 + r$ に関する対称性に焦点を当てる。
• 対称性フレームワークを用いて、第一到達時間密度およびタブー確率の閉形式表現を導出すること。
• 特定の率条件下での遷移確率および第一到達時間密度に関する準対称性関係を確立すること。

提案手法

• 状態空間 $\{0,1,\ldots,N\}$ 上の切断型出生死滅過程（吸収または反射境界を有する）における遷移確率の前向きコルモゴロフ方程式を導出する。
• 比 $x_n = \frac{\mu_1\cdots\mu_n}{\lambda_{N-1}\cdots\lambda_{N-n}}$ を用いた準対称性条件を導入し、時間に依存しない経路確率比を保証する。
• 鏡像法および対称変換を用いて、特に状態0を経由させる全崩壊を伴う両側無限型過程に適用する。
• 直線 $x_2 = x_1 + r$ に関する反射を定義することで、2次元過程への対称性の拡張を図り、変換 $\mathbf{k} \to (k_2 - r, k_1 + r)$ を得る。
• 対称経路確率を関連付ける関係式 $P(n_2 - r, n_1 + r, t \mid \mathbf{k}) = \xi^{n_2 - k_2 - n_1 + k_1} P(\mathbf{n}, t \mid \mathbf{k})$ を用いる。
• 第一到達時間密度を、恒等式 $g(x,x+r,t|\mathbf{k}) = \frac{|k_2 - k_1 - r|}{t} P(x,x+r,t|\mathbf{k})$ を用いて導出し、遷移確率と直接的に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 切断型出生死滅過程が中点 $N/2$ の周りに空間的対称性を示すための出生率および死滅率の条件は何か？
• RQ2 全崩壊を伴う（状態0にリセットされる）両側無限型出生死滅過程に、どのように対称性を拡張できるか？
• RQ3 定数遷移率を有する2次元出生死滅過程において、どのような対称性の性質が現れ、直線 $x_2 = x_1 + r$ への第一到達とどのように関係するか？
• RQ4 対称性に基づく変換を用いて、第一到達時間密度およびタブー確率を閉形式で表現できるか？
• RQ5 準対称性条件下で、第一到達確率と対称性パラメータ $\xi$ の関係は何か？

主な発見

• 切断型出生死滅過程における空間的対称性の必要十分条件は、すべての $n=1,\ldots,N-1$ に対して $\frac{\mu_n}{\lambda_{N-n}} = \frac{\mu_{n-1}}{\lambda_{N-n+1}}$ が成り立つことであり、これにより対称経路確率比が時間に依存しないことが保証される。
• 全崩壊を伴う両側無限型過程では、対称性の性質により、状態0を通る第一到達時間密度およびそれに対応する回避遷移確率の正確な表現が可能になる。
• 定数遷移率を有する2次元出生死滅過程では、直線 $x_2 = x_1 + r$ に関する対称性が、恒等式 $P(n_2 - r, n_1 + r, t \mid \mathbf{k}) = \xi^{n_2 - k_2 - n_1 + k_1} P(\mathbf{n}, t \mid \mathbf{k})$ を導き、ここで $\xi = \frac{\lambda_1 + \mu_2}{\mu_1 + \lambda_2}$ である。
• 直線 $x_2 = x_1 + r$ への第一到達時間密度は $g(x,x+r,t|\mathbf{k}) = \frac{|k_2 - k_1 - r|}{t} P(x,x+r,t|\mathbf{k})$ で与えられ、遷移確率と直接的に関連づけられる。
• タブー確率 $P^{\langle r\rangle}(\mathbf{n},t|\mathbf{k})$ は、$P(\mathbf{n},t|\mathbf{k}) - \xi^{n_1 + r - n_2} P(n_2 - r, n_1 + r, t|\mathbf{k})$ として表現され、対称性条件のもとで有効である。
• 最終的な第一到達確率 $\pi_r(\mathbf{k})$ は $\pi_r(k_2 - r, k_1 + r) = \xi^{k_1 + r - k_2} \pi_r(\mathbf{k})$ を満たし、$\lambda_1 + \mu_2 \geq \mu_1 + \lambda_2$ かつ $k_2 < k_1 + r$ のとき、または $\lambda_1 + \mu_2 \leq \mu_1 + \lambda_2$ かつ $k_2 > k_1 + r$ のとき、1に等しくなる。さもなければ $\xi^{k_2 - k_1 - r}$ に等しい。