[論文レビュー] A revised pre-order principle and set-valued Ekeland variational principle

Jinghui Qiu|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、元の枠組みを拡張して、弱τ関数を含む集合値Ekeland変分原理（EVP）を扱えるようにした、見直し済みの前順序原理を導入する。元の原理では達成できなかった、異なる点においても正規化関数がゼロとなる場合を含む状況を扱えるように、スカラライゼーション条件を修正することで実現した。見直し済みの原理は、集合を含む形で表現された既知のすべての集合値EVPを一般化し、特にカーンとクイの弱τ関数を含むEVPを含む。

ABSTRACT

In my former paper "A pre-order principle and set-valued Ekeland variational principle" (see: arXiv: 1311.4951[math.FA]), we established a general pre-order principle. From the pre-order principle, we deduced most of the known set-valued Ekeland variational principles (denoted by EVPs) and their improvements. But the pre-order principle could not imply Khanh and Quy's EVP in [On generalized Ekeland's variational principle and equivalent formulations for set-valued mappings, J. Glob. Optim., 49 (2011), 381-396], where the perturbation contains a weak $τ$-function. In this paper, we give a revised version of the pre-order principle. This revised version not only implies the original pre-order principle, but also can be applied to obtain the above Khanh and Quy's EVP. Thus, the revised pre-order principle implies all the known set-valued EVPs in set containing forms (to my knowledge).

研究の動機と目的

• 元の前順序原理が、p(x,x′) が x≠x′ であってもゼロとなるような弱τ関数を含む集合値EVPを扱えないという制限を解消すること。
• 元の原理を包含しつつ、カーンとクイの弱τ関数を含むEVPにまで適用可能な見直し済みの前順序原理を構築すること。
• 一貫した理論的枠組みの下で、既知のすべての集合値EVP（集合を含む形）を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 異なる点において正規化関数がゼロとなる状況を扱えるように、条件 (B) および (C) を見直した前順序原理を導入する。
• 元のスカラライゼーション条件を、異なる z₁, z₂ ∈ S(x) に対して η(x) > min{η(z₁), η(z₂)} が成り立つように強化することで、単調性のもとでも点の相違が保たれるようにする。
• 見直し済みの原理を用いて、一様空間および局所凸空間における r-距離、p-距離、q-距離を用いた集合値EVPを導出する。
• 逐次的および S(x)-動的完備性（q-距離に関して）を用いて、証明フレームワーク内での列の収束を保証する。
• 局所凸空間におけるスカラライゼーションを可能にするために、半ノルムの族 {pα} および関連する線形汎関数 ξα を導入する。
• 有界性および完備性の仮定に基づき、級数 ∑p(zi,zi+1)pα(hi) および ∑p(zi,zi+1) の収束を確立し、極限点 u の存在を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の前順序原理は、異なる点においても正規化関数がゼロとなる弱τ関数を含む集合値EVPを拡張して扱えるか？
• RQ2 見直し済みの前順序原理は、r-、p-、q-距離を含む、既知のすべての集合値EVP（集合を含む形）を包含するか？
• RQ3 弱τ関数が存在する状況下で、最小点の存在を保証するには、前順序集合および正規化関数にどのような条件が必要か？
• RQ4 非定義的正規化関数を伴う状況下で、スカラライゼーション技法をどのように修正すれば、点の相違が保たれるか？
• RQ5 半ノルムおよび線形汎関数を用いて、局所凸空間において見直し済みの原理を適用し、ベクトル値正規化関数を伴うEVPを導出できるか？

主な発見

• 見直し済みの前順序原理は、元の原理では処理できなかったカーンとクイの弱τ関数を含む集合値EVPを正当に導出できる。
• 見直し済みの原理は、ハ、チウ、ベドナルツィクとザグロドニ、ギューティエルなど、リウとニェ、バオとモルデュホビッチらの報告した既知のすべての集合値EVP（集合を含む形）を一般化する。
• 条件 (B) により、S(x) 内の異なる2点が同じ最小η値を持つことはなく、スカラライゼーションの下でも点の相違が保たれる。
• p-距離の場合は、∑p(zi,zi+1)pα(hi) および ∑p(zi,zi+1) の収束が保証され、これは空間 Y の有界性および l∞-完備性によって成立する。
• q-距離の場合は、S(x₀)-動的完備性の仮定により、p(xₙ,u)→0 を満たす極限点 u の存在が保証され、これによりEVPが導出可能となる。
• 半ノルムの族 {pα} および関連する線形汎関数 ξα を用いることで、局所凸空間への拡張が可能となり、ベクトル値設定下でのスカラライゼーションが実現される。