[論文レビュー] A rigidity result for the graph case of the Penrose inequality

Levi Lopes de Lima, Frederico Girão|arXiv (Cornell University)|May 5, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$$\mathbb{R}^{n+1}$$ 内の $$\mathbb{R}^n$$ へのグラフとして表される漸近的に平坦でスカラー曲率がゼロの超曲面が、ある超平面に含まれる最小化超曲面（ホライズン）を持つ場合に、自然な楕円型条件のもとで、その超曲面がグローバルに剛性であることを確立する。超曲面をホライズンに対して反射し、スカラー曲率がゼロである二端超曲面に関する一意性定理を適用することで、このような超曲面は外側シュバルツシルト解と局所等長であることが示され、シュバルツシルト時空のグラフ表現に関する局所的剛性結果が得られる。

ABSTRACT

In this note we prove a global rigidity result for asymptotically flat, scalar flat Euclidean hypersurfaces with a minimal horizon lying in a hyperplane, under a natural ellipticity condition. As a consequence we obtain, in the context of the Riemannian Penrose conjecture, a local rigidity result for the family of exterior Schwarzschild solutions (viewed as graphs in Euclidean space).

研究の動機と目的

• 漸近的に平坦でスカラー曲率がゼロのユークリッド超曲面が、ある超平面に含まれる最小化ホライズンを持つ場合のグローバル剛性結果を確立すること。
• シュバルツシルト解のグラフ表現に対するリーマン幾何学的ペンローズ不等式の剛性に関する記述を扱うこと。
• 質量の公式を導出するが剛性結果を導けない既存の手法におけるギャップを埋めること。
• 楕円型条件および正則性条件のもとで、このような超曲面がシュバルツシルト解と局所等長である必要があることを証明すること。

提案手法

• 元の超曲面 $$M$$ をホライズン超平面 $$P$$ に関して反射し、二端で $$C^2$$ の超曲面 $$M'$$ を構成する。この超曲面はスカラー曲率がゼロで対称性を保つ。
• Hounie と Leite の一意性定理（[HL]）を $$M'$$ に適用し、楕円型条件のもとで $$M'$$ が完全でスカラー曲率がゼロの二端超曲面であることを保証する。
• 正則性の議論により、反射された部分の第二基本形式がホライズン上で一致することを示し、$$M'$$ が $$C^2$$ であることを保証する。
• シュバルツシルトグラフが $$S_2 = 0$$（スカラー曲率がゼロ）を満たし、所定の漸近的減衰を有する径方向グラフであるという事実を活用する。
• 垂直ベクトル場 $$X = \partial/\partial x_{n+1}$$ に第一ニュートンテンソル $$G(A)$$ を作用させ、境界積分をホライズンおよび無限遠で関係づけるために発散定理を用いる。
• ホライズンに沿った二階微分の一致、特に $$u_{nn}^+ = u_{nn}^-$$ が楕円型条件および $$S_2$$ の消滅から導かれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $$\mathbb{R}^{n+1}$$ 内のグラフ的で、漸近的に平坦でスカラー曲率がゼロの超曲面が、ある超平面に含まれる最小ホライズンを持つ場合、どのような条件下で外側シュバルツシルト解と等長であるか？
• RQ2 シュバルツシルト解のグラフ表現に対するペンローズ不等式の剛性記述は、成立するか？
• RQ3 第二基本形式における楕円型条件が、反射された超曲面が $$C^2$$ であるために十分な正則性を保証するか？
• RQ4 部分積分を用いて導出された質量の公式から剛性を導けるか、それとも別の手法が必要か？
• RQ5 二階微分がホライズンに沿って一致するための条件は何か？ これにより反射された曲面の $$C^2$$ スムーズネスが保証される。

主な発見

• 与えられた楕円型条件および減衰条件のもとで、反射された超曲面 $$M'$$ は $$C^2$$ である。これにより $$M'$$ 上での発散定理の適用が正当化される。
• ホライズン $$\Gamma_0$$ に沿って第二基本形式の成分 $$u_{ij}^+$$ と $$u_{ij}^-$$ が一致し、特に法線-法線成分 $$u_{nn}^+ = u_{nn}^-$$ も成立する。これにより $$M'$$ の $$C^2$$ 正則性が確認される。
• 第二基本形式の一致は、楕円型条件および $$S_2$$ の消滅から導かれる。これにより形状作用素の成分がホライズンに沿って連続であることが示される。
• Hounie と Leite の一意性定理が $$M'$$ に適用可能である。$$M'$$ はスカラー曲率がゼロで二端であるため、$$M'$$ は完全で回転対称な超曲面でなければならない。
• その結果、元の超曲面 $$M$$ は外側シュバルツシルト解と局所等長であることが示され、局所的剛性結果が得られる。
• $$M$$ のADM質量はシュバルツシルト質量 $$m$$ に等しく、ペンローズ不等式の等号が成り立つのは $$M$$ がシュバルツシルトグラフである場合に限る。