[論文レビュー] A rigidity theorem for preLie algebras

Muriel Livernet|ArXiv.org|Apr 14, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、pre-Lie代数の剛性定理を確立する。新たな構造として、結合的でない置換的余代数構造（非可換置換的余積）を導入し、pre-Lie積と分配法則を満たす。このようにして、ホップ的pre-Lie代数とみなせるような代数は、根付き木の組合せ論とpre-Lie代数圏における余群対象との関係を用いて、必然的に自由pre-Lie代数であることが証明される。

ABSTRACT

In this paper we prove a ``Leray theorem'' for preLie algebras. We define a notion of ''Hopf'' preLie algebra: it is a preLie algebra together with a non associative permutative coproduct D and a compatibility relation between the preLie product and the coproduct D. A nonassociative permutative algebra is a vector space together with a product satisfying the relation (ab)c=(ac)b. A non associative permutative coalgebra is the dual notion. We prove that any such graded connected "Hopf" preLie algebra is a free preLie algebra. It uses the description of preLie algebras in term of rooted trees developped by Chapoton and the author. We interpret also this theorem by way of cogroups in the category of preLie algebras.

研究の動機と目的

• 古典的剛性定理（Lerayの定理など）をpre-Lie代数の文脈へ拡張すること。
• pre-Lie代数と非可換置換的余代数を組み合わせた新しい代数的構造「ホップ的pre-Lie代数」を定義し、その性質を研究すること。
• このような代数とpre-Lie代数圏における余群対象との関係を確立すること。
• 任意の連結ホップ的pre-Lie代数が、pre-Lie代数として自由であることを証明すること。これは、可換および双分岐bialgebraに関する結果を一般化する。
• 特にFresseのoperad圏における余群理論を用いて、この結果をoperad的および圏論的枠組みで解釈すること。

提案手法

• ChapotonとLivernetの研究に基づき、根付き木の組合せ論を用いてpre-Lie代数を記述する。
• 積の法則(ab)c = (ac)bを満たす非可換置換的代数構造と、その余代数的双対を導入する。
• pre-Lie積と余積の間で、Δ(a∘b) = Δ(a)∘b + a⊗b という分配法則を定義する。
• 分解可能要素の空間L²を消滅させるべき冪等自己準同型を含む基本補題を用いる。
• 特にoperad上での自由代数の理論を用いて、構造を特徴付けるためのoperad的技法を適用する。
• pre-Lie代数圏における余群構造の存在と代数の自由性の間の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lerayの定理やLoday-Roncoの定理に類似する剛性定理を、pre-Lie代数に対して確立できるか。
• RQ2 pre-Lie代数が代数として自由であることを保証する構造は何か。
• RQ3 pre-Lie積と非可換置換的余積の相互作用が、自由性をどのように強制するか。
• RQ4 このような代数の圏論的解釈は、pre-Lie代数圏における余群対象としてどのように表現されるか。
• RQ5 プリミティブ要素と包あくり代数を用いて、Cartier-Milnor-Moore定理をpre-Lie代数へ一般化できる範囲はどの程度か。

主な発見

• 任意の連結pre-Lie代数に、分配法則Δ(a∘b) = Δ(a)∘b + a⊗b を満たす非可換置換的余積が定義されているならば、それは自由pre-Lie代数である。
• 基本補題により、分解可能要素の空間L²を消滅させる冪等自己準同型が特定され、これが自由性の証明を可能にする。
• この定理により、順位付き連結pre-Lie代数が自由であることと、pre-Lie代数圏において余群構造を備えることの間で、圏論的同値が確立される。
• この結果は、プリミティブ部が追加構造を持たないベクトル空間であるようなCartier-Milnor-Moore型定理として解釈される。
• 余積Δはcoassociativityを満たし、cogroup準同型から導かれる関係Δ(a·b) = a⊗b + a·b₁⊗b₂ + a₁⊗a₂·b を満たす。
• Fresseのoperad的余群理論を用いて、自由pre-Lie代数であることと、pre-Lie代数圏におけるアーベル的余群であることの同値性が確立される。