[論文レビュー] A Ring Isomorphism and corresponding Pseudoinverses

Samuel N. Cohen, Robert J. Elliott+1 more|ArXiv.org|Oct 1, 2008

Matrix Theory and Algorithms参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、すべての行和と列和がゼロである $n\times n$ 行列の集合と、$(n-1)\times(n-1)$ 行列の完全な集合との間で、行列 $J_n$ を通じた変換によって埋め込まれた低次元空間を経由する環同型を確立する。この同型は、ムーア・ペネロープス擬逆行列構造を保存し、低次元空間における標準的逆行列へ写像する。これにより、このクラスに属するランク不足の行列について、擬逆行列の明示的計算と射影作用素 $X^+X$ の特徴付けが可能になる。

ABSTRACT

This paper studies the set of $n imes n$ matrices for which all row and column sums equal zero. By representing these matrices in a lower dimensional space, it is shown that this set is closed under addition and multiplication, and furthermore is isomorphic to the set of arbitrary $(n-1) imes (n-1)$ matrices. The Moore-Penrose pseudoinverse corresponds with the true inverse, (when it exists), in this lower dimension and an explicit representation of this pseudoinverse in terms of the lower dimensional space is given. This analysis is then extended to non-square matrices with all row or all column sums equal to zero.

研究の動機と目的

• すべての行和と列和がゼロである $n\times n$ 行列の代数的構造を分析すること。
• このような行列がすべての成分が1のベクトルを零固有ベクトルとして持つため、標準的行列逆行列が不可能であるという問題を解決すること。
• このような特異行列に対するムーア・ペネロープス擬逆行列を体系的に計算する方法を開発すること。
• 特にランク不足の場合に、このような行列に対する射影作用素 $X^+X$ の像を特徴付けすること。
• 非正方行列およびゼロ行・ゼロ列を含む行列に対しても、同型と擬逆行列対応を拡張すること。

提案手法

• 行列 $J_n = [I_n \mid -\mathbf{1}]$ を用いて、$\phi: M_n \to S_{n+1}$ を $\phi(X) = J_n^* X J_n$ で定義し、$n\times n$ 行列を行和・列和がゼロである $(n+1)\times(n+1)$ 行列へ写像する。
• 積 $X \circ Y = X K_n Y$（$K_n = J_n J_n^*$ と定義）を導入し、$M_n$ に標準的行列演算に対する $S_{n+1}$ と同型な環構造を定義する。
• 同型写像 $\phi$ が加法と乗法を保存することを証明し、$\phi$ が $M_n$ における $\circ$ に関するムーア・ペネロープス擬逆行列を、$S_{n+1}$ における標準的乗法に関するムーア・ペネロープス擬逆行列へ写像することを示す。
• 特定の位置 $\mathbf{a}$ にゼロ列を挿入する修正版 $J_{m,\mathbf{a}}$ 行列を導入することで、ゼロ行・ゼロ列を含む行列に対しても同型を拡張し、同型と $K_m = J_{m,\mathbf{a}} J_{m,\mathbf{a}}^*$ を保存する。
• 行列 $X$ が可逆である場合に、$\tilde{X} = J_{m,\mathbf{b}}^* X J_{m,\mathbf{a}}$ のムーア・ペネロープス逆行列の明示的公式 $\tilde{X}^+ = J_{m,\mathbf{a}}^* K_m^{-1} X^{-1} K_m^{-1} J_{m,\mathbf{b}}$ を導出する。
• 射影作用素 $\tilde{X}^+ \tilde{X}$ の像を、列和がゼロで、インデックス $\mathbf{a}$ で指定される位置にゼロが配置された行列 $\tilde{M} = J_{m,\mathbf{a}}^* M$ の集合として特徴付け、$\tilde{X}^+ \tilde{X} \tilde{M} = \tilde{M}$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行和・列和がゼロである $n\times n$ 行列の集合に、次元が小さい行列の環構造と同型な環構造を導入できるか？
• RQ2 このような特異行列のムーア・ペネロープス擬逆行列は、同型な低次元環における逆行列とどのように関係するか？
• RQ3 行や列がゼロである $S_{n+1}$ の行列に対するムーア・ペネロープス擬逆行列の明示的形は何か？
• RQ4 このような行列に対する射影作用素 $X^+X$ の像をどのように特徴付けられるか？
• RQ5 非正方行列に対しても、同型と擬逆行列対応を拡張できるか？

主な発見

• すべての行和と列和がゼロである $n\times n$ 行列の集合 $S_{n+1}$ は、積 $X \circ Y = X K_n Y$（$K_n = J_n J_n^*$）を用いて、$M_n$ の全行列代数と同型である。
• 写像 $\phi(X) = J_n^* X J_n$ は、$M_n$ における $\circ$ に関するムーア・ペネロープス擬逆行列を、$S_{n+1}$ における標準的乗法に関するムーア・ペネロープス擬逆行列へ写像する。
• ランクが $m$ の行列 $\tilde{X} = J_{m,\mathbf{b}}^* X J_{m,\mathbf{a}}$ に対して、$X$ が可逆である限り、ムーア・ペネロープス逆行列が明示的に $\tilde{X}^+ = J_{m,\mathbf{a}}^* K_m^{-1} X^{-1} K_m^{-1} J_{m,\mathbf{b}}$ で与えられる。
• 射影作用素 $\tilde{X}^+ \tilde{X}$ は、列和がゼロで、インデックス $\mathbf{a}$ で指定される行にゼロが配置された行列 $\tilde{M} = J_{m,\mathbf{a}}^* M$ の部分空間上で恒等写像として作用し、$\tilde{X}^+ \tilde{X} \tilde{M} = \tilde{M}$ を満たす。
• $\tilde{X}^+ \tilde{X}$ の像は、行列 $\tilde{M} = J_{m,\mathbf{a}}^* M$ の $m$ 次元部分空間であり、$\tilde{X}^+ \tilde{X} = J_{m,\mathbf{a}}^* K_m^{-1} J_{m,\mathbf{a}} = J_{m,\mathbf{a}}^* \left(I_m - \frac{1}{m+1} \mathbf{1}_{m\times m}\right) J_{m,\mathbf{a}}$ と表される。
• 非正方行列に対しても、$J_{m,\mathbf{a}}$ と $J_{m,\mathbf{b}}$ 行列におけるゼロ挿入パターン $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を別々に許容することで、同型と擬逆行列対応を拡張でき、構造と可逆性条件を保存する。