[論文レビュー] A robust and stable numerical scheme for a depth-averaged Euler system

Nora Aïssiouene, Marie-Odile Bristeau+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自由表面を伴う非圧縮性Euler方程式から導かれた非水圧深さ平均Euler系のための、ロバストで安定な有限体積スキームを提示する。運動論に基づく射影補正アプローチを用いることで、well-balancing、正値性、完全離散化されたエネルギー不等式を確保し、乾燥状態でさえも安定性を維持する。解析的ベンチマーク（放物面型バケツおよびソリタリーモード）において、収束性と精度が検証された。

ABSTRACT

We propose an efficient numerical scheme for the resolution of a non-hydrostatic Saint-Venant type model. The model is a shallow water type approximation of the incompressbile Euler system with free surface and slightly differs from the Green-Naghdi model. The numerical approximation relies on a kinetic interpretation of the model and a projection-correction type scheme. The hyperbolic part of the system is approximated using a kinetic based finite volume solver and the correction step implies to solve an elliptic problem involving the non-hydrostatic part of the pressure. We prove the numerical scheme satisfies properties such as positivity, well-balancing and a fully discrete entropy inequality. The numerical scheme is confronted with various time-dependent analytical solutions. Notice that the numerical procedure remains stable when the water depth tends to zero.

研究の動機と目的

• 古典的Saint-Venant系を拡張する非水圧深さ平均Eulerモデルのための、安定的かつ高精度な数値スキームの開発を目的とする。
• スキームがwell-balancing、深さの正値性、完全離散化されたエネルギー不等式の満たすことを保証することを目的とする。
• 特に水深がゼロに近づく状況における湿渇界面をロバストに扱えるようにすることを目的とする。
• 時間依存の解析的解（ソリタリーモードおよび放物面型バケツ配置）に対してスキームを検証することを目的とする。
• 補正ステップの変分的定式化を用いて、2次元非構造メッシュへの拡張の基盤を提供することを目的とする。

提案手法

• スキームは、分離ステップ射影補正戦略を採用し、系を双曲型および放物型の部分問題に分割する。
• 双曲型部分は、運動論に基づく有限体積法を用いて解き、一貫性と安定性を確保する。
• 補正ステップでは、非水圧圧力の離散的楕円型問題を、有限差分離散化により解く。
• この方法は、完全離散化されたエネルギー不等式を満たし、離散的inf-sup条件を維持することが証明されている。
• 境界条件は、特にソリタリーモードの流入など時間依存の流入シナリオにおいて、フラックス強制法により処理される。
• 深さ平均Euler系の運動論的解釈により、源項および非水圧効果のロバストな数値的取り扱いが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非水圧深さ平均Eulerモデルのためのロバストな数値スキームを設計可能か。特にwell-balancingおよび正値性といった重要な物理的性質を保持できるか。
• RQ2 非水圧圧力に関連する補正ステップを、有限差分法で安定的かつ高精度に離散化する方法は何か。
• RQ3 水深がゼロに近づく場合、特に湿渇界面においてもスキームが安定性と収束性を維持できるか。
• RQ4 ソリタリーモードや放物面型バケツ流れといった時間依存の解析的解に対して、スキームの収束率は何か。
• RQ5 補正ステップの変分的定式化を用いて、2次元非構造メッシュへの拡張が可能か。

主な発見

• 水深がゼロに近づく場合でも、スキームは安定性と精度を維持し、湿渇界面のロバストな取り扱いが可能である。
• 放物面型バケツのテストケースにおいて、水深のL¹誤差は時間経過に伴い有界であり、1次および2次スキームの両方で理論的期待値と一致する収束率を示した。
• ソリタリーモードのテストケースでは、内部および境界流入構成の両方で理論的次数と一致する収束率を示し、最大3200セルまでで誤差が計算された。
• 両ベンチマーク問題において、空間および時間方向で2次収束を達成し、精度およびロバスト性を確認した。
• 完全離散スキームにおいて、離散的エネルギー不等式が満たされていることから、熱力学的一致性が確認された。
• メッシュの細分化や境界条件の変化にかかわらず、スキームはロバストであることが示され、特に流入境界からのソリトンの流入に対しても同様の性能を示した。