[論文レビュー] A Robust Complex Division in Scilab

Michaël Baudin, Robert L. Smith|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Microwave Engineering and Waveguides参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、1962年のSmithの手法を改善し、中間計算におけるオーバーフローおよびアンダーフローを回避することで、倍精度浮動小数点演算における簡素で頑健な複素数除算アルゴリズムを提示する。著者らは、アルゴリズムの頑健性を証明し、数値シミュレーションを通じて、Smithの手法よりも著しく信頼性が高く、より複雑なStewartの手法と同等の性能を示すことを実証した。失敗率は、単純な実装と比較して最大4桁低減された。

ABSTRACT

The most widely used algorithm for floating point complex division, known as Smith's method, may fail more often than expected. This document presents two improved complex division algorithms. We present a proof of the robustness of the first improved algorithm. Numerical simulations show that this algorithm performs well in practice and is significantly more robust than other known implementations. By combining additionnal scaling methods with this first algorithm, we were able to create a second algorithm, which rarely fails.

研究の動機と目的

• 中間項 $c^2 + d^2$ のオーバーフローおよびアンダーフローによって頻発するSmithの複素数除算アルゴリズムの失敗を是正すること。
• 3項積の計算において3通りの乗算順序をすべてテストする必要があるStewartの複素数積計算手法の代替として、より単純で頑健な手法を開発すること。
• 結果がアンダーフロー閾値に近い場合でも高い精度を維持できる、証明可能に頑健なアルゴリズムを提供すること。
• 広範なランダムテストを用いて、提案手法の数値的頑健性および性能を、既存手法と比較・評価すること。

提案手法

• 改良されたアルゴリズムは、問題を引き起こす $c^2 + d^2$ 項を回避するように変更された式を用い、中間のオーバーフローおよびアンダーフローのリスクを低減する。
• 大きさに基づいて3項積の最適な乗算順序を選択することで、3通りの順序のうち1つを不要にし、実装を簡素化する。
• アンダーフロー状態を検出し、$e = a*t + (b*t)*r$ のようなより安全な式に切り替える。この場合、個々の項がアンダーフローしても和は正確に保たれる。
• 2番目のより頑健なバージョンは、スケーリング技術と改良アルゴリズムを組み合わせ、結果がアンダーフロー閾値 $\alpha$ に近い場合に対応する。
• 著者らは、ANSI CおよびScilabですべてのアルゴリズムを実装・ベンチマークし、1,574,802件のランダムな複素数除算のデータセットを用いて、性能と精度を測定した。
• 頑健性は、ランダムな数値実験を通じて評価され、失敗率と結果の有効数字の正確性に注目した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3項積の計算の3通りの方法をすべてテストする必要がないまま、Stewartの手法と同等の頑健性を達成できる単純な複素数除算アルゴリズムは作成可能か？
• RQ2 Smithの手法は実際の使用においてどの程度頻繁に失敗するのか？ そして、これらの失敗は体系的に特定・是正可能か？
• RQ3 スケーリングと式の再構成により、複素数除算においてアンダーフロー閾値付近での精度はどの程度向上できるか？
• RQ4 複素数除算アルゴリズムにおける頑健性の向上に伴う性能オーバーヘッドはどの程度で、実用上許容可能か？

主な発見

• 改良アルゴリズムは、単純な実装と比較して失敗率を最大4桁低減し、他の既知の実装と比較して2桁低減した。
• 改良アルゴリズムは、Stewartの手法と同等の頑健性を達成しており、Smithの手法、Priestの手法、Liらの手法、C99の手法と比較して、はるかに低い失敗率を示した。
• アルゴリズムの頑健なバージョンは、結果がアンダーフロー閾値 $\alpha$ に近い場合でも、実部および虚部の両方で52桁以上の有効数字を生成する。
• 性能測定では、コンパイル済みの改良アルゴリズムが5.0 MCDPSで実行され、Scilabのネイティブ実装（4.7 MCDPS）をわずかに上回った。一方、頑健なバージョンは3.2 MCDPSで実行され、より高い複雑性を反映していた。
• アルゴリズムは中間項のアンダーフローを検出し、より安全な式に切り替えることで、個々の項が副正規数であっても正確性を保持した。
• 数値実験の結果、正確な結果がアンダーフロー閾値に極めて近い稀なケースを除き、アルゴリズムは失敗しないことが確認され、その場合でさえも、大きさは正しく保持された。