[論文レビュー] A robust monolithic solver for phase-field fracture integrated with fracture energy based arc-length method and under-relaxation

Ritukesh Bharali, Somdatta Goswami+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2021

Numerical methods in engineering参考文献 60被引用数 67

ひとこと要約

本稿では、破壊エネルギーに基づく弧長法と適応的アンダールラクセーションを組み合わせることで、スナップバック挙動を正確に捉え、収束性を向上させる、頑健なモノリシック型相場分極破壊ソルバを提示する。この手法は、等形状有限要素法（IGA）とPHTスプラインに基づく適応的メッシュ・リファインメントを統合し、破壊経路の事前知識がなくても、効率的かつ局所的にき裂の進行を解像可能にする。

ABSTRACT

The phase-field fracture free-energy functional is non-convex with respect to the displacement and the phase field. This results in a poor performance of the conventional monolithic solvers like the Newton-Raphson method. In order to circumvent this issue, researchers opt for the alternate minimization (staggered) solvers. Staggered solvers are robust for the phase-field based fracture simulations as the displacement and the phase-field sub-problems are convex in nature. Nevertheless, the staggered solver requires very large number of iterations (of the order of thousands) to converge. In this work, a robust monolithic solver is presented for the phase-field fracture problem. The solver adopts a fracture energy-based arc-length method and an adaptive under-relaxation scheme. The arc-length method enables the simulation to overcome critical points (snap-back, snap-through instabilities) during the loading of a specimen. The use of an under-relaxation scheme stabilizes the solver by preventing the divergence due to an ill-behaving stiffness matrix. The efficiency of the proposed solver is further amplified with an adaptive mesh refinement scheme based on PHT-splines within the framework of isogeometric analysis. The numerical examples presented in the manuscript demonstrates the efficacy of the solver. All the codes and data-sets accompanying this work will be made available on GitHub (https://github.com/rbharali/IGAFrac).

研究の動機と目的

• 非凸なエネルギー汎関数と悪条件な剛性行列による収束問題を克服する、頑健なモノリシック型相場分極破壊ソルバの開発。
• き裂の進行に伴うピーク後スナップバック挙動を正確に捉えること。これは、通常のステガレートド・ソルバでは見逃されがちな現象である。
• 等形状有限要素法（IGA）内でのPHTスプラインを用いた適応的メッシュリファインメントを統合し、勾配が急な領域の効率的かつ局所的な解像を可能にする。
• 破壊エネルギーに基づく弧長制約と適応的アンダールラクセーションにより、変分的一致性と安定性を確保する。
• 事前定義されたき裂経路がなくても、自然なき裂発生と進行を可能にし、せん断破壊シミュレーションにおける現実性を向上させる。

提案手法

• 変位変数と位相場変数を同時に解く、連成系を一括して解くモノリシック解法を採用する。
• ロードパスを制御し、スナップバック時に大きな変位ステップを可能にするために、破壊エネルギーに基づく弧長法を導入する。
• 不安定なヤコビ行列の挙動に起因する振動を抑えるために、適応的アンダールラクセーションを適用する。
• き裂の進化に応じて適応的にメッシュを細分化できる、等形状有限要素法（IGA）フレームワーク内でのPHTスプラインを用いる。
• 変分不等式を用いて、破壊の不可逆性制約をペナルティ法により強制する。
• 弧長制約に基づく動的タイムステッピング戦略を採用し、適応的エネルギー散逸と安定性の向上を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弧長制御とアンダールラクセーションを備えたモノリシック型相場分極破壊ソルバは、ピーク後ローディングにおけるスナップバック挙動を効果的に捉えられるか？
• RQ2 適応的アンダールラクセーションと破壊エネルギーに基づく弧長法の組み合わせは、標準的なモノリシックまたはステガレートド・ソルバと比較して、収束性と頑健性をどのように向上させるか？
• RQ3 PHTスプラインを用いた適応的メッシュリファインメントは、相場分極破壊シミュレーションにおける計算効率と精度をどの程度向上させるか？
• RQ4 提案されたソルバは、事前定義されたき裂経路や再メッシュ化なしに、自然にき裂の発生と進行を捉えることができるか？
• RQ5 劣化関数の選択（2次関数対3次関数）が、ピーク後領域における荷重-変位応答とき裂トポロジーに与える影響は何か？

主な発見

• 提案されたモノリシックソルバは、単一き裂き裂ひずみ（SENT）およびせん断（SENS）試験片において、スナップバック挙動を成功裏に捉え、代替最小化法や準ニュートン・ラフソン法では達成できない。
• SENTケースにおいて、他の手法と同等のピーク荷重とピーク前応答を達成するが、特筆すべきは、ピーク後における不連続性と負の勾配領域を独自に捉えていることである。
• s = 0.1 の3次劣化関数では線形なピーク前ステージを示すが、2次関数およびs=1.0の3次関数ではそのようなステージが見られず、劣化モデル選択への感受性が顕著に現れている。
• PHTスプラインを用いた適応的メッシュリファインメントは、均一に細分化されたメッシュと同等の荷重-変位曲線を達成しており、精度と効率性を確認した。
• き裂経路は初期化なしに自然に発生し、最終的な破壊トポロジーは、スペクトル分解に基づくひずみエネルギーではなくランキン基準を用いたため、先行研究とは異なる。
• すべてのテストケースにおいて、収束性が頑健であり、動的タイムステッピングとアンダールラクセーションにより、極めて非線形な領域でも発散を防いでいる。