[論文レビュー] A Robust Queueing Network Analyzer Based on Indices of Dispersion

Whitt, Ward, You, Wei|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非再生到着、一般サービス時間、フィードバックを伴う単一クラスオープンキューイングネットワークにおける定常状態性能を近似するため、分散指数（IDC）に基づくロバストなキューイングネットワークアナライザー（RQNA）を提案する。フローバリエーションをIDC関数でモデル化し、内部フローのための連立一次方程式を解くことで、特に高負荷・フィードバックが多いシステムにおいて、先行手法よりも高い精度を達成する。フィードバック除去後、競争力のある結果が得られる。

ABSTRACT

In post-industrial economies, modern service systems are dramatically changing the daily lives of many people. Such systems are often complicated by uncertainty: service providers usually cannot predict when a customer will arrive and how long the service will be. Fortunately, useful guidance can often be provided by exploiting stochastic models such as queueing networks. In iterating the design of service systems, decision makers usually favor analytical analysis of the models over simulation methods, due to the prohibitive computation time required to obtain optimal solutions for service operation problems involving multidimensional stochastic networks. However, queueing networks that can be solved analytically require strong assumptions that are rarely satisfied, whereas realistic models that exhibit complicated dependence structure are prohibitively hard to analyze exactly. In this thesis, we continue the effort to develop useful analytical performance approximations for the single-class open queueing network with Markovian routing, unlimited waiting space and the first-come first-served service discipline. We focus on open queueing networks where the external arrival processes are not Poisson and the service times are not exponential. We develop a new non-parametric robust queueing algorithm for the performance approximation in single-server queues. With robust optimization techniques, the underlying stochastic processes are replaced by samples from suitably defined uncertainty sets and the worst-case scenario is analyzed. We show that this worst-case characterization of the performance measure is asymptotically exact for approximating the mean steady-state workload in G/G/1 models in both the light-traffic and heavy-traffic limits, under mild regularity conditions. In our non-parametric Robust Queueing formulation, we focus on the customer flows, defined as the continuous-time processes counting customers in or out of the network, or flowing from one queue to another. Each flow is partially characterized by a continuous function that measures the change of stochastic variability over time. This function is called the index of dispersion for counts. The Robust Queueing algorithm converts the index of dispersion for counts into approximations of the performance measures. We show the advantage of using index of dispersion for counts in queueing approximation by a renewal process characterization theorem and the ordering of the mean steady-state workload in GI/M/1 models. To develop generalized algorithm for open queueing networks, we first establish the heavy-traffic limit theorem for the stationary departure flows from a GI/GI/1 model. We show that the index of dispersion for counts function of the stationary departure flow can be approximately characterized as the convex combination of the arrival index of dispersion for counts and service index of dispersion for counts with a time-dependent weight function, revealing the non-trivial impact of the traffic intensity on the departure processes. This heavy-traffic limit theorem is further generalized into a joint heavy-traffic limit for the stationary customer flows in generalized Jackson networks, where the external arrival are characterized by independent renewal processes and the service times are independent and identically distributed random variables, independent of the external arrival processes. We show how these limiting theorems can be exploited to establish a set of linear equations, whose solution serves as approximations of the index of dispersion for counts of the flows in an open queueing network. We prove that this set of equations is asymptotically exact in approximating the index of dispersion for counts of the stationary flows. With the index of dispersion for counts available, the network is decomposed into single-server queues and the Robust Queueing algorithm can be applied to obtain performance approximation. This algorithm is referred to as the Robust Queueing Network Analyzer. We perform extensive simulation study to validate the effectiveness of our algorithm. We show that our algorithm can be applied not only to models with non-exponential distirbutions but also to models with more complex arrival processes than renewal processes, including those with Markovian arrival processes.

研究の動機と目的

• 依存する到着とフィードバックを伴う非マコフ型キューイングネットワークにおける、既存の分解法および重交通近似の限界を解消すること。
• 外部到着がポアソンでない、かつサービス時間が一般のオープンキューイングネットワークにおける性能近似精度を向上させること。
• カウントの分散指数（IDC）を活用して、時間変動する顧客フローのばらつきをモデル化するスケーラブルなアルゴリズムの開発。
• 高負荷・フィードバックに強いネットワークにおける精度向上を目的としたフィードバック除去手順の導入。
• クラウドコンピューティング、ヘルスケア、コールセンタなど、実世界のサービスシステムにおける性能予測のための実用的で計算効率の良いアルゴリズムの提供。

提案手法

• 到着レートとカウントの分散指数（IDC）—スケーリングされた分散時間曲線—によって特徴づけられる連続時間プロセスとして顧客フローをモデル化する。
• モデルの基本的要因またはデータから内部到着プロセスのIDC値を導出し、それを解くための連立一次方程式系を導出・解く。
• 重交通極限に基づくロバストなキューイング近似を適用し、1次元の反射ブラウン運動（RBM）を用いて平均定常状態性能を推定する。
• フィードバック除去統合：ボトルネックキューでの誤差を低減するために、主アルゴリズムを適用する前に、近接した即時のフィードバックフローを特定・削除する。
• 外部および内部到着プロセスのIDCとサービス時間分布を組み合わせて、平均滞在時間およびキュー長を近似する。
• 計算効率を向上させるために、木構造ネットワーク向けの簡略化版アルゴリズムを開発する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カウントの分散指数（IDC）を用いることで、到着プロセスの時間的依存性をどのようにモデル化・活用し、キューイングネットワーク近似の精度を向上させられるか？
• RQ2 顧客のフィードバックと相関する到着が、QNA や QNET などの従来の分解ベース近似法の精度に与える影響は何か？
• RQ3 フィードバック除去手順は、高負荷・フィードバックが多いネットワークにおけるロバストキューイング近似の精度を顕著に向上させることができるか？
• RQ4 多様なネットワークトポロジーにおいて、RQNA-IDCアルゴリズムはシミュレーションおよび他の近似手法（例：QNA、QNET、SBD、RQ）と比較して、平均滞在時間推定においてどの程度の性能を示すか？
• RQ5 1次元の反射ブラウン運動に依存することにより、RQNA-IDCの精度が、密結合で高負荷のキューにおいてどの程度制限を受けるか？

主な発見

• フィードバック除去を行わないRQNA-IDCアルゴリズムは、ボトルネックステーション5で最大211％の誤差を示し、高フィードバック環境下での著しい不正確さを示した。
• フィードバック除去を適用した後、RQNA-IDCはステーション4および5で15–18％の誤差にまで低減され、SBD や QNET といった既存手法と同等の性能を達成した。
• フィードバック除去を施した場合、RQNA-IDCは全システムの滞在時間近似誤差を9.9％に抑えた。一方、RQは18％、フィードバック除去なしのRQNAは102％であった。
• ステーション10では、RQNA-IDC（フィードバック除去あり）が-8.7％の誤差を示し、RQ（3.9％）およびSBD（1.7％）を上回る性能を発揮した。
• フィードバック除去手順は、高負荷・フィードバックに強いネットワークにおけるIDC分解の崩壊を効果的に緩和した。
• 広範なシミュレーション研究および重交通極限を用いた検証を通じて、フィードバックループを含む複雑なトポロジーを含む多様なネットワーク構造において、本手法のロバスト性が確認された。