[論文レビュー] A Robust Time-Delay Approach to Extremum Seeking via ISS Analysis of the Averaged System

Xuefei Yang, Emilia Fridman|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2023

Extremum Seeking Control Systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、連続的および離散的領域におけるN次元静的2次写像に対する極値探索（ES）に対して、時間遅れを用いたロバストなアプローチを提示する。システムを中立型時間遅れモデルに変換することで、リャプノフ＝クラソフスキー（L-K）法の代わりに定数変化の公式を用い、実用的安定性の明示的かつより緩い条件を入力-状態安定性（ISS）解析によって確立する。これにより、先行研究に比べてHessian行列の不確実性に対する許容範囲を拡大でき、ジッタ周期の制約も緩和される。

ABSTRACT

For N-dimensional (ND) static quadratic map, we present a time-delay approach to gradient-based extremum seeking (ES) both, in the continuous and, for the first time, the discrete domains. As in the recently introduced (for 2D maps in the continuous domain), we transform the system to the time-delay one (neutral type system in the form of Hale in the continuous case). This system is O($\varepsilon$)-perturbation of the averaged linear ODE system, where $\varepsilon$ is a period of averaging. We further explicitly present the neutral system as the linear ODE, where O($\varepsilon$)-terms are considered as disturbances with distributed delays of the length of the small parameter $\varepsilon$. Regional input-to-state stability (ISS) analysis is provided by employing a variation of constants formula that greatly simplifies the previously used analysis via Lyapunov-Krasovskii (L-K) method, simplifies the conditions and improves the results. Examples from the literature illustrate the efficiency of the new approach, allowing essentially large uncertainty of the Hessian matrix with bounds on $\varepsilon$ that are not too small.

研究の動機と目的

• 任意のN ≥ 1に対して、多変数系における極値探索（ES）のロバストで定量的な安定性解析フレームワークを構築すること。
• Hessian行列の不確実性下で、保守的結果と複雑な条件を生じるリャプノフ＝クラソフスキー（L-K）法の限界を克服すること。
• 連続的および離散的領域における1–2次元系に限定された時間遅れアプローチを、一般のN次元系へと拡張すること。
• 実用的安定性を保証する明示的で単純な不等式に基づく条件を提供することにより、より大きな許容可能なジッタ周期とHessian行列の不確実性を可能にすること。

提案手法

• 勾配に基づく極値探索ダイナミクスを、連続系におけるHaleの定式化に類似した中立型時間遅れ系に変換する。
• 平均化周期εの分布遅れを有するO(ε)項による摂動を受ける線形常微分方程式（ODE）としてシステムを再定式化する。
• 入力-状態安定性（ISS）の解析に定数変化の公式を適用し、複雑なL-K汎関数アプローチの代わりに用いる。
• ジッタ周期εを制限する明示的で単純な不等式を導出し、L-K法による保守的結果を避ける。
• ISSフレームワークを用いて、Hessian行列の不確実性および初期条件の誤差からの摂動に対するシステムのロバスト性を定量化する。
• 文献からの例を用いて手法を検証し、Hessian行列の不確実性が大きい場合でも、安定性マージンが向上することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間遅れアプローチは、連続的および離散的領域におけるN次元極値探索系へと一般化可能か？
• RQ2 極値探索系の安定性解析において、リャプノフ＝クラソフスキー法の複雑さと保守的性質をどのように軽減できるか？
• RQ3 Hessian行列の不確実性が大きい状況下で、極値探索系の実用的安定性を保証する明示的で単純な条件は何か？
• RQ4 従来のL-K法に基づく手法と比較して、ジッタ周期εをより大きく許容しつつ安定性を維持できるか？
• RQ5 定数変化の公式は、極値探索における安定性解析の取り扱いやすさと安定性境界のタイトさをどの程度向上させるか？

主な発見

• 提案手法は、分布遅れによるO(ε)摂動を受ける時間遅れモデルを用いて、N次元極値探索系の実用的安定性を達成する。
• 明示的な安定性条件が単純な不等式として導出され、複雑なL-K汎関数の構築を回避し、保守的性質が低減される。
• 先行のL-K法に基づく手法と比較して、Hessian行列の不確実性に対する許容範囲が著しく拡大される。
• ジッタ周期εの上限がより緩やかになり、実装上での収束速度の向上とロバスト性の向上が可能になる。
• 定数変化の公式により安定性解析が簡素化され、従来手法よりもタイトでより実用的な安定性マージンが得られる。
• 数値例により、εが非常に小さくない場合でも安定性が維持されることを確認し、実用的妥当性が裏付けられる。