[論文レビュー] A (rough) pathwise approach to a class of non-linear stochastic partial differential equations

Michael Caruana, Peter K. Friz+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、多次元ブラウン運動によって駆動される非線形確率的偏微分方程式（SPDE）に対して、確率的測度論的複雑さを回避するための粗いパス・ワイス・アプローチを導入する。粗いパス理論を活用することで、最小限の正則性仮定のもとで解の存在、一意性、安定性を確立し、決定論的連続性定理を用いて確率的応用（大偏差、サポート定理など）を可能にする。

ABSTRACT

We consider nonlinear parabolic evolution equations of the form $\partial_{t}u=F(t,x,Du,D^{2}u) $, subject to noise of the form $H(x,Du) \circ dB$ where $H$ is linear in $Du$ and $\circ dB$ denotes the Stratonovich differential of a multidimensional Brownian motion. Motivated by the essentially pathwise results of [Lions, P.-L. and Souganidis, P.E.; Fully nonlinear stochastic partial differential equations. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 326 (1998), no. 9] we propose the use of rough path analysis [Lyons, T. J.; Differential equations driven by rough signals. Rev. Mat. Iberoamericana 14 (1998), no. 2, 215--310] in this context. Although the core arguments are entirely deterministic, a continuity theorem allows for various probabilistic applications (limit theorems, support, large deviations, ...).

研究の動機と目的

• ストラトノヴィッチ型ノイズによって駆動される非線形SPDEに対するパスワイズ・アプローチを構築し、確率積分に依存しないようにすること。
• 粗いパス技術を用いて粘性解理論をSPDEに拡張し、駆動信号の摂動に対して解の安定性と連続性を保証すること。
• 大偏差、サポート定理、極限定理などの確率的応用を支援する決定論的枠組みを確立すること。
• リムズ–ソウガニディスの粘性解アプローチを粗いパス連続性を組み込むことで一般化し、不規則なノイズ経路の解析を可能にすること。
• Hölder連続係数を有する完全非線形SPDEに対して、有界な粘性解の存在と一意性を確立すること。

提案手法

• ストラトノヴィッチ型ノイズを Hölder 正則性を有する粗いパスとして扱う粗いパス枠組みを採用し、決定論的解理論を可能にする。
• ブラウン運動の粗いパスリフトを用いて、パスワイズ粘性定式化によりSPDEの解を定義する。
• 粗いパス空間における連続性定理を適用し、決定論的安定性結果を確率的設定に移行する。
• 正則化による近似解を構築し、粘性の意味で極限に至る際に半連続極限を用いる。
• 近似解の上および下の半連続包を定義し、極限において初期データを回復する。
• 成長および曲率を制御したテスト関数を用い、粘性不等式を検証し、大きなパラメータ制御による背理法を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率積分に依存せずに、ブラウン運動によって駆動される非線形SPDEに対して完全なパスワイズ粘性解理論を構築可能か？
• RQ2 粗いパス理論は、駆動ノイズの摂動に対して解の安定性と連続性をどのように実現するか？
• RQ3 大偏差、サポート定理などの確率的結果が、完全に決定論的粗いパスの議論から導ける範囲はどの程度か？
• RQ4 完全非線形SPDEに対して、粗いパス入力を持つ有界な粘性解の存在と一意性を確立できるか？
• RQ5 近似解の極限において、初期条件が粗いパス枠組みでどのように回復されるかを保証する条件は何か？

主な発見

• 本論文は、ストラトノヴィッチ型ノイズによって駆動される完全非線形SPDEの初期値問題に対して、有界な粘性解の存在と一意性を確立する。
• 粗いパス空間における連続性定理により、解が駆動信号に連続的に依存することが保証され、確率的応用が可能になる。
• 近似解の極限は、上および下の半連続包が時間ゼロにおいて初期データを回復する意味で初期条件を満たす。
• 大きな線形および二次項を有する巧みなテスト関数を用いた背理法により、極限において解が原点で初期データを超えることは不可能であることが証明される。
• 近似解の導関数の制御を避けて、バールス–ペルタム法と同様に安定性と半連続極限に依存する。
• 係数および初期データの一様収束に対して解理論は安定であり、摂動に対して安定であることが保証される。