[論文レビュー] A #SAT Algorithm for Small Constant-Depth Circuits with PTF Gates

Lijie Chen|arXiv (Cornell University)|May 27, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 50被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、基本的な計算幾何学的問題—ℓ2-最も遠いペア、ホプロフトの問題、二色の最近接ペア—のわずかに高速なアルゴリズムが、THR◦THR回路に対する超多項式サイズの下界を意味することを確立している。これは、回路複雑性における主要な未解決問題を解決するものである。新規の閾値回路構造補題を活用し、ウィリアムズのアルゴリズム的フレームワークを応用することで、アルゴリズム実行時間のわずかな改善（対数因子の削減）が、NEXPおよびENPに対するブレークスルー的回路下界に繋がることを示している。

ABSTRACT

Proving super-polynomial size lower bounds for $ extsf{TC}^0$, the class of constant-depth, polynomial-size circuits of Majority gates, is a notorious open problem in complexity theory. A major frontier is to prove that $ extsf{NEXP}$ does not have poly-size $ extsf{THR} \circ extsf{THR}$ circuit (depth-two circuits with linear threshold gates). In recent years, R.~Williams proposed a program to prove circuit lower bounds via improved algorithms. In this paper, following Williams' framework, we show that the above frontier question can be resolved by devising slightly faster algorithms for several fundamental problems: 1. Shaving Logs for $ extsf{$\ell_2$-Furthest-Pair}$. An $n^2 extrm{poly}(d) / \log^{ω(1)} n$ time algorithm for $ extsf{$\ell_2$-Furthest-Pair}$ in $\mathbb{R}^d$ for polylogarithmic $d$ implies $ extsf{NEXP}$ has no polynomial size $ extsf{THR} \circ extsf{THR}$ circuits. The same holds for Hopcroft's problem, $ extsf{Bichrom.-$\ell_2$-Closest-Pair}$ and Integer $ extsf{Max-IP}$. 2. Shaving Logs for Approximate $ extsf{Bichrom.-$\ell_2$-Closest-Pair}$. An $n^2 extrm(d) / \log^{ω(1)} n$ time algorithm for $(1+1/\log^{ω(1)} n)$-approximation to $ extsf{Bichrom.-$\ell_2$-Closest-Pair}$ or $ extsf{Bichrom.-$\ell_1$-Closest-Pair}$ for polylogarithmic $d$ implies $ extsf{NEXP}$ has no polynomial size $ extsf{SYM}\circ extsf{THR}$ circuits. 3. Shaving Logs for Modest Dimension Boolean $ extsf{Max-IP}$. An $n^2 / \log^{ω(1)} n$ time algorithm for Bichromatic Maximum Inner Product with vector dimension $d = n^ε$ for any small constant $ε$ would imply $ extsf{NEXP}$ has no polynomial size $ extsf{THR} \circ extsf{THR}$ circuits. Note there is an $n^2 extrm{polylog}(n)$ time algorithm via fast rectangle matrix multiplication. Our results build on two structure lemmas for threshold circuits.

研究の動機と目的

• NEXP が多項式サイズの THR◦THR 回路を持つかどうかという長年の未解決問題を解決すること。
• ウィリアムズのアルゴリズム的フレームワークを拡張し、基本的問題に対する改善されたアルゴリズムを通じて回路下界を確立すること。
• 幾何的および内積問題に対する既知のアルゴリズムから対数因子を削減することが、強力な回路下界を意味することを示すこと。
• MAX-SAT および k-SAT のアルゴリズム改善と、SYM◦AND および TC 回路に対する下界を結びつけること。
• アルゴリズム的還元を可能にするために、閾値回路の新しい構造的特徴づけを導出すること。

提案手法

• 2つの鍵となる構造補題を導入：多項式サイズの THR◦THR 回路は、多項式個の多項式サイズの THR◦MAJ 回路の OR として表現可能。あるいは、超指数的個の多項式サイズの MAJ◦MAJ 回路の OR として表現可能。
• 非決定的技術を用いて確率的還元を決定的化し、ウィリアムズのアルゴリズムと下界の間の接続を適用可能にする。
• 回路充足可能性問題を、(例：最も遠いペア、最近接ペアなど)幾何的問題に還元することで、回路サイズと深さを保持する。
• 既知のアルゴリズム的改善（例：高速な長方形行列積）を応用し、次元 d = n^ε の二色最大内積問題に対する時間計算量の上限を導出する。
• SYM◦AND 回路から OR◦MAJ◦OR 回路への還元を用い、MAX-SAT アルゴリズムと下界を結びつける。
• TC-SAT から k-CNF 公式への多数対一還元を適用し、k-SAT アルゴリズムと TC 回路の深さが対数的である場合の下界を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓ2-最も遠いペアまたは関連問題に対する既知のアルゴリズムから対数因子を削減することは、NEXP ∉ P/poly(THR◦THR) を意味するか？
• RQ2 次元が多項式対数的 d で、(1+1/log^ω(1) n)-近似アルゴリズムによる二色最近接ペア問題の解法が、SYM◦THR 回路の下界を意味するか？
• RQ3 次元 d = n^ε で、n²/log^ω(1) n 時間のアルゴリズムによる二色最大内積問題の解法が、NEXP ∉ P/poly(THR◦THR) を意味するか？
• RQ4 MAX-SAT に対して 2^{n·(1−1/2^{(log m)^o(1)})} 時間のアルゴリズムが、SYM◦AND 回路に対する超準多項式サイズの下界を意味するか？
• RQ5 k-SAT に対して 2^{n·(1−1/k^{1/ω(log log k)})} 時間のアルゴリズムが、TC 回路の深さが log log n を超える障壁を破るか？

主な発見

• 次元 d が多項式対数的である場合に、n² poly(d)/log^ω(1) n 時間の決定的アルゴリズムが ℓ2-最も遠いペア問題に適用されれば、NEXP ∉ P/poly(THR◦THR) が成立する。
• 同じ実行時間改善がホプロフトの問題、二色 ℓ2-最近接ペア、整数最大内積問題に適用されれば、NEXP ∉ P/poly(THR◦THR) が成立する。
• 次元 d が多項式対数的である場合に、(1+1/log^ω(1) n)-近似アルゴリズムが二色 ℓ2-または ℓ1-最近接ペア問題に適用されれば、NEXP ∉ P/poly(SYM◦THR) が成立する。
• 次元 d = n^ε（任意の ε > 0）で、n²/log^ω(1) n 時間のアルゴリズムが二色最大内積問題に適用されれば、NEXP ∉ P/poly(THR◦THR) が成立する。
• MAX-SAT に対して 2^{n·(1−1/2^{(log m)^o(1)})} 時間のアルゴリズムが適用されれば、NEXP ∉ quasi-polynomial-size(SYM◦AND) 回路が成立する。
• k-SAT に対して 2^{n·(1−1/k^{1/ω(log log k)})} 時間のアルゴリズムが適用されれば、ENP ∉ linear-size O(log log n)-depth TC 回路が成立する。