[論文レビュー] A Scalable Approximate Model Counter

Supratik Chakraborty, Kuldeep S. Meel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2013

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 31被引用数 20

ひとこと要約

この論文では、高い信頼性と小さな許容誤差で $(\varepsilon,\delta)$-保証を提供する、CNF論理式に対するスケーラブルな近似モデルカウンタ ApproxMC を提案する。この手法は、真のカウントの $(1+\varepsilon)$ 因子以内にモデル数を推定するために多項式個の SAT ソルバー呼び出しを用い、変数数が数万にのぼるベンチマークにおいて、理論的上限よりもはるかに実用的な精度を達成する。

ABSTRACT

Propositional model counting} (#SAT), i.e., counting the number of satisfying assignments of a propositional formula, is a problem of significant theoretical and practical interest. Due to the inherent complexity of the problem, approximate model counting, which counts the number of satisfying assignments to within given tolerance and confidence level, was proposed as a practical alternative to exact model counting. Yet, approximate model counting has been studied essentially only theoretically. The only reported implementation of approximate model counting, due to Karp and Luby, worked only for DNF formulas. A few existing tools for CNF formulas are bounding model counters; they can handle realistic problem sizes, but fall short of providing counts within given tolerance and confidence, and, thus, are not approximate model counters. We present here a novel algorithm, as well as a reference implementation, that is the first scalable approximate model counter for CNF formulas. The algorithm works by issuing a polynomial number of calls to a SAT solver. Our tool, ApproxMC, scales to formulas with tens of thousands of variables. Careful experimental comparisons show that ApproxMC reports, with high confidence, bounds that are close to the exact count, and also succeeds in reporting bounds with small tolerance and high confidence in cases that are too large for computing exact model counts.

研究の動機と目的

• 実用的応用における命題的モデルカウンティング（$\#\mathsf{SAT}$）の正確なカウンタのスケーラビリティの限界を克服すること。
• 理論的近似カウンティングと実装の間のギャップを埋めるために、CNF論理式向けのスケーラブルなアルゴリズムを設計すること。
• 既存のツールが提供できない $(\varepsilon,\delta)$-スタイルの保証（許容誤差と信頼度）を、近似カウントに対して提供すること。
• 大規模で現実的な論理式においてもスケーラビリティを維持しながら、既存の境界カウンターよりも高い近似品質を達成すること。

提案手法

• 反復的な SAT 問題の照会を通じて、満たす割り当て数を推定するため、ハッシングとランダムウォークに基づく新しい手法を用いる。
• 複数の境界技術（例：MiniCount、SampleCount、MBound）を統合したハイブリッド手法を採用し、上界と下界の両方を改善する。
• 信頼度の高い区間を保証するため、境界推定に保守的な戦略を採用しており、先行研究[13]で妥当性が確認されている。
• 多項式個の SAT ソルバー呼び出しを用いることで、理論的保証付きの $(\varepsilon,\delta)$-近似を達成する。
• 反復的に境界を精緻化し、区間サイズを縮小するため、MBound手法のハイブリッド版を実装に用いる。
• すべての実験は、正確なカウンタ、近似カウンタ、境界カウンタの間で公平な比較が行えるよう、各ツールに 20 時間のタイムアウトを設定して実施した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数数が数万にのぼる規模の CNF 論理式に対し、$(\varepsilon,\delta)$-保証を維持しながらスケーラブルな近似モデルカウンタを設計できるか？
• RQ2 実際の応用において、ApproxMC の近似品質は正確なカウンターや既存の境界カウンターよりも優れているか？
• RQ3 大規模で複雑な論理式においても、高い信頼度で小さな区間サイズ（きめ細かい境界）を維持できるか？
• RQ4 区間の狭さと正確さの観点から、ApproxMC は最先端の境界カウンターよりも優れているか？

主な発見

• Cachet が正確なカウントを報告した 95 のベンチマークにおいて、ApproxMC はすべての推定値が真のカウントの指定された許容誤差内に収まる $(\varepsilon,\delta)$-保証付きの境界を正常に計算した。
• 95 のベンチマーク全体における相対誤差の $L_1$ ノルムは 0.033 であり、平均誤差がたった 3.3% にとどまり、理論的保証の $\varepsilon = 0.75$ よりもはるかに低いことが示された。
• ApproxMC の区間サイズは、MiniCount や SampleCount や MBound といった境界カウンターよりも一貫して小さく、優れた近似品質を示した。
• Cachet が大規模な問題でタイムアウトしたのに対し、ApproxMC は高い信頼度と小さな許容誤差で境界を継続して返し、正確なカウンターよりもスケーラビリティに優れたことを示した。
• 保守的な推定戦略を採用しても、ApproxMC は MiniCount の上界を顕著に改善し、SampleCount や MBound の下界をも向上させた。
• ApproxMC は変数数が数万にのぼる論理式にもスケーラブルに適用でき、正確なカウンティングでは処理不可能なインスタンスに対しても正常に処理できた。