[論文レビュー] A scale-relativistic derivation of the Dirac Equation

Marie-Noëlle Célérier, Laurent Nottale|ArXiv.org|Oct 3, 2002

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、スケール相対性を用いて、微分不可能でフラクタル的な時空における測地線運動として、量子力学を幾何学的に解釈することで、第一原理からディラック方程式を導出する。非微分可能性に起因する逐次的離散的対称性の破れを考慮し、ハミルトンの双クaternionを拡張して、ディラックスピンォの双クaternion的性質が自然に出現することを示し、この枠組みにおいて自由ディラック方程式が測地線方程式として得られる。

ABSTRACT

The application of the theory of scale relativity to microphysics aims at recovering quantum mechanics as a new non-classical mechanics on a non-derivable space-time. This program was already achieved as regards the Schrödinger and Klein Gordon equations, which have been derived in terms of geodesic equations in this framework: namely, they have been written according to a generalized equivalence/strong covariance principle in the form of free motion equations $D^2x/ds^2=0$, where $D/ds$ are covariant derivatives built from the description of the fractal/non-derivable geometry. Following the same line of thought and using the mathematical tool of Hamilton's bi-quaternions, we propose here a derivation of the Dirac equation also from a geodesic equation (while it is still merely postulated in standard quantum physics). The complex nature of the wave function in the Schrödinger and Klein-Gordon equations was deduced from the necessity to introduce, because of the non-derivability, a discrete symmetry breaking on the proper time differential element. By extension, the bi-quaternionic nature of the Dirac bi-spinors arises here from further discrete symmetry breakings on the space-time variables, which also proceed from non-derivability.

研究の動機と目的

• 量子力学における標準的な仮定を避け、スケール相対性の枠組み内で第一原理からディラック方程式を導出すること。
• 時空の非微分可能性に起因する逐次的離散的対称性の破れを通じて、ディラックスピンォの双クォータニオン的構造の起源を明らかにすること。
• シュレーディンガー方程式、クライン・ゴルドン方程式、ディラック方程式を、共通の幾何的原理「フラクタル的時空における測地線運動」の下で統一すること。
• 量子波動関数の複素数的、クォータニオン的、双クォータニオン的構造が、時空の非微分性に起因する対称性の破れの段階的増加に起因して生じることを示すこと。

提案手法

• 時空の微分可能性を放棄することで、アインシュタインの相対性をスケール変換まで一般化したスケール相対性の原理を適用する。
• 一定のフラクタル次元 D=2 を持つフラクタル的・非微分可能な多様体として時空をモデル化し、スケール依存の測度と無限大の測地線路を導く。
• フラクタル構造に基づく共変微分を用いて、古典的運動方程式を $ D^2x^\mu/ds^2 = 0 $ の形の測地線方程式へ一般化する。
• 波動関数を表現するためにハミルトンの双クォータニオンを導入し、スピンォの自由度および粒子・反粒子状態の記述を可能にする。
• 一般化された等価性／強い共変性の原理を適用して、この双クォータニオン的・フラクタル的時空における自由ディラック方程式を測地線方程式として導出する。
• 演算子の代数的構造をパウリ行列およびディラック行列に一致させることで、得られた方程式をディラック表現における標準的ディラック方程式と特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何学的枠組みにおける量子力学の下で、標準的な仮定を避け、第一原理からディラック方程式をどのように導出できるか？
• RQ2 時空幾何学と対称性の観点から、ディラックスピンォの双クォータニオン的構造の起源は何か？
• RQ3 非微分性に起因する逐次的離散的対称性の破れは、スピンおよび粒子・反粒子自由度の出現にどのように寄与するか？
• RQ4 量子力学における複素数的、クォータニオン的、双クォータニオン的波動関数は、時空の非微分性の段階的増加として統一的に説明可能か？
• RQ5 スケール相対性の枠組みは、フラクタル的時空における測地線方程式として、どのように自然にディラック方程式を導くのか？

主な発見

• 一般化された共変性の原理を用いて、一定のフラクタル次元 D=2 を持つフラクタル的時空における測地線方程式として、ディラック方程式が導出された。
• ディラックスピンォの双クォータニオン的性質は、逐次的離散的対称性の破れ（時間微分対称性の破れ、空間座標反転、パリティ／時間反転対称性の破れ）に起因して生じる。
• 波動関数の4複素数成分（8実数成分）の構造は、スピンォを記述するSL(2,C)群と同型な双クォータニオンによって自然に表現される。
• 得られた方程式は、ディラック表現における標準的自由ディラック方程式と一致し、演算子 $ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} $ は、$ \alpha^k $ および $ \beta $ 行列に対応するコンウェイ行列を介して表現される。
• この導出により、スピンおよび粒子・反粒子状態が、仮定された対称性ではなく、非微分的時空の幾何学的構造から生じることが示された。
• この枠組みは、シュレーディンガー方程式、クライン・ゴルドン方程式、ディラック方程式を、スケール相対的時空における測地線方程式として統一し、対称性の破れの段階と関連する代数的構造の違いによってのみ区別される。