[論文レビュー] A Scaling Limit for Limit Order Books Driven by Hawkes Processes

Ulrich Horst, Wei Xu|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、価格および量に依存する注文フローを有するハーケス確率測度によって駆動される限界注文書（LOB）モデルのスケーリング極限を確立する。単一の時間スケールにおいて、限界動態は結合されたSDE-ODE系に収束する：最良買付・売却価格は拡散過程に従い、量密度関数はヒルバート空間におけるODEに従い、強度過程はボルテラ＝フレッドホルム積分方程式を満たす。これにより、複数の時間スケールを必要とせず、非退化で完全に結合された巨視的モデルが得られる。

ABSTRACT

In this paper we derive a scaling limit for an infinite dimensional limit order book model driven by Hawkes random measures. The dynamics of the incoming order flow is allowed to depend on the current market price as well as on a volume indicator. With our choice of scaling the dynamics converges to a coupled SDE-ODE system where limiting best bid and ask price processes follows a diffusion dynamics, the limiting volume density functions follows an ODE in a Hilbert space and the limiting order arrival and cancellation intensities follow a Volterra-Fredholm integral equation.

研究の動機と目的

• ハーケス確率測度によって駆動される無限次元限界注文書のスケーリング極限を構築し、注文フローにおけるクラスタリングおよび相互依存性を捉えること。
• 従来の流体極限モデルで用いられる複数の時間スケール（例：速やかなキャンセル対比して遅い市場注文）の必要性を排除すること。
• スプレッドが厳密に正のまま保たれる非退化な巨視的極限を得ることで、意味のある価格および量の動的を保証すること。
• 制限された動的を、確率微分方程式、ヒルバート空間における常微分方程式、およびボルテラ＝フレッドホルム積分方程式からなる完全に結合された系として特徴付けること。
• 標準的な仮定の下で、極限系の解の一意性と収束性を、マルティングル問題の技法と緊密性の議論を用いて確立すること。

提案手法

• モデルは、価格および量に依存する強度を許容するハーケス確率測度を用いて注文到着およびキャンセルの動的を記述する。
• 単一の時間スケールスケーリングを適用し、ティックサイズおよび注文サイズをゼロに近づけながら到着レートを増大させ、有限の注文統計量を保存する。
• モーメントバウンドおよび関数極限定理を用いて、スコロホド空間における価格-量プロセスの系列の緊密性を証明する。
• 任意の蓄積点が経路に依存する生成子に関連するマルティングル問題を満たすことを示すことにより、弱収束を確立する。
• 極限系は、最良買付・売却価格のためのSDE、ヒルバート空間における量密度関数のためのODE、および強度のためのボルテア＝フレッドホルム積分方程式を組み合わせる。
• 追加の条件（特にスプレッドの正の厳密性）の下で、解の一意性を証明し、極限の非退化性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の時間スケールに依存せず、ハーケス過程によって駆動される完全な限界注文書のスケーリング極限を導出可能か？
• RQ2 注文フローにクラスタリングおよび相互依存性がハーケス確率測度によって反映される場合、極限動的の形態はいかなるものか？
• RQ3 極限系は非退化のままであるか、特にスプレッドが厳密に正のままであるか？
• RQ4 巨視的極限において、極限価格、量、強度プロセスはどのように相互作用するか？
• RQ5 極限動的は、収束性および一意性を保証するマルティングル問題の解として特徴付け可能か？

主な発見

• 極限動的は完全に結合された系に収束する：買い・売り価格はSDEに従う拡散過程に従う。
• 量密度関数はヒルバート空間におけるODEに従い、価格レベルにわたる残存注文の分布を捉える。
• 注文の到着およびキャンセル強度はボルテア＝フレッドホルム積分方程式を満たし、記憶およびフィードバック効果を反映する。
• 標準的な仮定の下で、極限においてスプレッドは厳密に正のまま保たれ、系の非退化性が保証される。
• 極限プロセスは経路に依存する生成子に関連するマルティングル問題を満たし、追加の条件下では解は一意である。
• 緊密性および弱収束の議論を用いて、法則としての収束が確立され、極限においてマルティングル項のほとんど確実な収束が得られる。