[論文レビュー] A Schrodinger formulation of Bianchi I scalar field cosmology

Jennie D’Ambroise|ArXiv.org|Nov 25, 2007

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ビアンキIスカラ場宇宙論方程式の解と線形シュレーディンガー方程式の解との間の直接的対応関係を確立し、量子力学的手法を用いて正確な解を得ることを可能にする。非一様なアインシュタイン場方程式を特定のポテンシャルを持つ時間に依存しないシュレーディンガー方程式に写像することで、複雑な宇宙論的モデルに対して、量子力学的手法を用いた新しい代替的解法を提供する。

ABSTRACT

We show that the Bianchi I Einstein field equations in a perfect fluid scalar field cosmology are equivalent to a linear Schrodinger equation. This is achieved through a special case of the recent FLRW Schrodinger-type formulation, and provides an alternate method of obtaining exact solutions of the Bianchi I equations.

研究の動機と目的

• スカラ場を伴うビアンキIアインシュタイン場方程式の解と線形シュレーディンガー方程式の解との間の直接的な数学的対応関係を確立すること。
• 従来知られていたFLRW-シュレーディンガー対応を、特にビアンキIモデルを含む非一様宇宙論に拡張すること。
• 解ける量子力学的系を活用することで、ビアンキI方程式の正確な解を求める代替的手段を提供すること。
• 具体的な例を通じて対応関係の有用性を示し、定数および非定数ポテンシャルを伴う真空中および非真空中の解を含む。
• シュレーディンガー方程式から導かれた解が元のアインシュタイン方程式およびクライン＝ゴルドン方程式を満たすことを示すことにより、対応関係の妥当性を検証すること。

提案手法

• 方法は、スケール因子 $X(t), Y(t), Z(t)$ およびスカラ場 $\phi(t)$ を用いてビアンキI計量とスカラ場方程式を表現することから始まる。エネルギー密度と圧力はスカラ場ラグランジアンから導出される。
• アインシュタイン方程式は、膨張率 $\theta$ とせん断スカラー $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ を用いて再定式化され、先行研究で得られたFLRW-シュレーディンガー対応の特殊ケースと一致する形になる。
• 重要なステップは、$XYZ\eta_i$ が一定である場合、時間再パラメータ化が可能であり、その結果系がシュレーディンガー方程式に写像可能であることを同定することである。
• コアとなる変換は、新しい時間変数 $\sigma(t)$ を定義することであり、$\dot{\sigma}(t) = u(\sigma(t))$ を満たす。ここで $u(x)$ は線形シュレーディンガー方程式 $u''(x) + [E - P(x)]u(x) = 0$ の解である。
• スケール因子 $X(t), Y(t), Z(t)$ は、$R(t) = u(\sigma(t))^{-1/3}$ および定数 $c_1, c_2$ を満たす指数関数的項から再構成される。ただし $c_1^2 + c_1c_2 + c_2^2 = -4E/3$ である。
• スカラ場 $\phi(t)$ とポテンシャル $V(\phi)$ は、$\phi(t) = \psi(\sigma(t))$ および $V = \frac{1}{3K^2}[(u')^2 + u^2(E - P)] \circ \psi^{-1}$ により導出され、$\psi'$ は $\psi'^2 = \frac{2}{3K^2}P(x)$ で定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラ場を伴うビアンキI宇宙のアインシュタイン場方程式は、線形シュレーディンガー方程式に再定式化可能か？
• RQ2 ビアンキI方程式の解と線形シュレーディンガー方程式の解との間の明確な数学的対応関係は何か？
• RQ3 既知のFLRW-シュレーディンガー対応を、ビアンキIのような非一様宇宙論にどのように拡張できるか？
• RQ4 解けるシュレーディンガーのポテンシャルを用いて、ビアンキI方程式のどのクラスの正確な解が生成可能か？
• RQ5 シュレーディンガー方程式の解から物理的宇宙論的解への逆写像が、どのような条件下で有効かつ適切に定義されるか？

主な発見

• 本稿は、スカラ場を伴うビアンキI宇宙論の解と、ポテンシャル $P(x)$ および負のエネルギー $E < 0$ を持つ時間に依存しない線形シュレーディンガー方程式の解との間で、直接的かつ可逆的な対応関係を確立している。
• シュレーディンガー方程式 $u''(x) + [E - P(x)]u(x) = 0$ の任意の解 $u(x)$ に対して、方程式 (3.8) から (3.11) に示される変換を用いて、対応するビアンキI方程式の解 $(X,Y,Z,\phi,V)$ を明示的に構成可能である。
• $P(x) = 0$ の場合、シュレーディンガー解 $u(x) = Ae^{-\sqrt{-E}x}$ は、べき則的スケール因子 $X(t) \propto (\sqrt{-E}(t - c_0))^{c_1/(2\sqrt{-E}) + 1/3}$ を持つ真空中のビアンキI解をもたらし、ポテンシャル $V = 0$ となる。
• $P(x) = 2/x^2 + E^2x^2$ の場合、解 $u(x) = (1/x)e^{Ex^2/2}$ は、$\psi$ の逆関数に依存する非自明なポテンシャル $V(\phi)$ をもたらし、$X(t), Y(t), Z(t)$ の明示的表現は $t - c_0$ の対数的およびべき則的項を含む。
• 本手法は、既知の真空中の解を正確に回復する。定数関数 $u(x) = u_0$ の場合、逆写像により $X,Y,Z$ は指数的時間依存性を示し、$V = 0$ となる。これは真空中のビアンキIモデルと整合的である。
• すべての導出された解が元のアインシュタイン方程式 (i)–(iv)、スカラ場 $\phi$ のクライン＝ゴルドン方程式、および方程式 (3.12) と (3.13) を用いたエネルギー条件を満たすことを示すことにより、対応関係が妥当であることが検証された。