[論文レビュー] A Schwinger-Keldysh Formulation of Semiclassical Operator Dynamics

Jeff Murugan, Hendrik J. R. Van Zyl|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2026

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ひとこと要約

要約: 本論文は Krylov ダイナミクスの実時間 Schwinger–Keldysh経路積分定式化を開発し、演算子の成長を Lanczos 係数によって支配される出現的な相空間を持つ動的理論へ再表現する。

ABSTRACT

In this work we develop a real-time Schwinger-Keldysh formulation of Krylov dynamics that treats Krylov complexity as an in-in observable generated by a closed time contour path integral. The resulting generating functional exposes an emergent phase-space description in which the Lanczos coefficients define an effective Hamiltonian governing operator motion along the Krylov chain. In the semiclassical limit, exponential complexity growth arises from hyperbolic trajectories, and asymptotically linear Lanczos growth appears as a universal chaotic fixed point, with sub-leading deformations classified as irrelevant, marginal or relevant. Going beyond the saddle, the Schwinger-Keldysh framework provides controlled access to fluctuations and large deviations of Krylov complexity, revealing sharp signatures of integrability-chaos crossovers that are invisible at the level of the mean. This formulation reorganises Krylov complexity into a dynamical field-theoretic framework and identifies new fluctuation diagnostics of operator growth in closed quantum systems.

研究の動機と目的

• Krylov 複雑性を場の理論的取り扱いの恩恵を受ける動的観測量として動機づける。
• 閉時Contour上で Krylov ダイナミクスを定式化し、ゆらぎと大偏差へアクセスする。
• Lanczos係数が Krylov 空間上の有効ハミルトンian として機能する出現的相空間モデルを導出する。
• 影響函数als による開放系へ拡張可能な枠組みを提供する。
• 正式な適用性を検証するための標準的事例で形式主義を示す。

提案手法

• Lanczos係数 b_n によるホッピングを持つ半無限Krylov鎖上での厳密結合一粒子問題として Krylov ダイナミクスを再表現する。
• 閉時 Contour 上の Krylov 観測量の Schwinger–Keldysh 発生的関数 Z_SK[J_+,J_-] を構築する。
• 前進・後退の枝を持つ経路積分表現を導入し、古典場/量子場 n_c, n_q（および p_c, p_q）を導入して Keldysh作用を得る。
• Krylov 複雑性 K(t) は量子源 J_q に対する汎函数微分から得られる: K(t) = (1/i) δ ln Z_SK / δJ_q(t) |_{J=0}。
• 半古典極限では、有効ハミルトニアン H_eff(n,p) が Krylov ダイナミクスを支配し、線形に成長する Lanczos係数で指数成長を生じる。

Figure 1: Schwinger-Keldysh closed-time contour with insertions $J_{+}$ and $J_{-}$ on the forward and backward branches respectively.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Schwinger–Keldysh 形式を用いて Krylov 複雑性を in-in 観測量としてどう定式化できるか。
• RQ2 Krylov ダイナミクスの出現的相空間記述は何か、Lanczos係数は有効ハミルトニアンへどう写像されるか。
• RQ3 SK フレームワーク内でのゆらぎと大偏差は Krylov 成長にどのように現れるか。
• RQ4 影響函数als による開放系のダイナミクスを扱い、既知の成長挙動を再現できるか。
• RQ5 標準的事例（例: 縦横根拠のホッピング） はこの形式で予想される Krylov 成長則を再現するか。

主な発見

• Krylov ダイナミクスは閉時 Contour 上の実時間経路積分で記述でき、Lanczos係数と有効 Krylov 位相空間ハミルトニアンを結びつける。
• Lanczos係数が線形に成長する場合、半古典極限で双曲的軌道により指数成長が生じる。
• Lanczos係数の線形成長は、漸近的に線形となる K(t) 成長を意味し、摂動が妥当性を持つ普遍的混沌不動点を示す。
• Schwinger–Keldysh 枠組みは Krylov 複雑性のゆらぎと大偏差に対する制御されたアクセスを提供し、平均レベルでは見えない積分可能性–混沌の交差を明らかにする。
• この形式は Krylov 複雑性を動的場の理論へ再編成し、閉じた量子系における演算子成長のゆらぎ診断を可能にする。
• 事例を通じて、既知の Krylov 成長挙動を再現し、SK 表現を演算子ダイナミクス研究の頑健な道具として妥当化する。

Figure 2: Phase portrait for the semiclassical Krylov dynamics $\dot{n}=-2\alpha n\sin p$ , $\dot{p}=-2\alpha\cos p$ . Trajectories lie on $n\cos p=\mathrm{const}$ . The vertical manifolds at $p=\pm\pi/2$ are fixed in $p$ ; $p=-\pi/2$ is unstable (repels in $n$ ) and $p=+\pi/2$ is stable (attracts i