[論文レビュー] A Search for Integrable Four-dimensional Nonlinear Accelerator Lattices

Sergei Nagaitsev, V. Danilov|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2010

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、時間に依存しない磁場または電場を用いた、安定で有界な運動を実現する4次元非線形加速器格子の2つの族を提案する。これらの格子は、ラプラス方程式を満たすポテンシャルを構築し、変数を分離可能にする。これにより2つの運動積分が得られ、安定性が保証されるとともに、1つの平面で最大100%のベータトロン・チューンスプリッドを実現する。空間電荷効果や不安定性の低減が可能となる。

ABSTRACT

Integrable nonlinear motion in accelerators has the potential to introduce a large betatron tune spread to suppress instabilities and to mitigate the effects of space charge and magnetic field errors. To create such an accelerator lattice one has to find magnetic and/or electric field combinations leading to a stable integrable motion. This paper presents families of lattices with one invariant where bounded motion can be easily created in large volumes of the phase space. In addition, it presents two examples of integrable nonlinear accelerator lattices, realizable with longitudinal-coordinate-dependent magnetic or electric fields with the stable nonlinear motion, which can be solved in terms of separable variables.

研究の動機と目的

• 自然なベータトロン・チューンスプリッドを有する、可積分でありながら非線形な非線形加速器格子を設計すること。
• 4次元位相空間において、時間に依存しないハミルトニアンと2つの運動積分を持つ磁場および電場配置を同定すること。
• 非線形要素を含むドリフト部および薄レンズ型インサートの周期的配置を用いた実用的格子設計を提示すること。
• 1つの平面で最大100%のベータトロン・チューンスプリッドを実現し、ダイナミックアパーチャーを損なわずに行うこと。
• ソレノイド、四極子、または短い非線形要素を用いて、4次元位相空間における可積分な非線形力学を実現するフレームワークを提供すること。

提案手法

• ベータトロン位相 ψ = ∫ ds/β(s) を用いた変換により、元の系から正規化されたハミルトニアン (3) を導出。時間依存性が明示的に消去される。
• 時間に依存しないポテンシャル U(x,y) を構築し、∇²U = 0 を満たすことで、可積分性を保証する。
• 2つの可積分ポテンシャルのクラスを同定：(1) x と y の有理関数（式 (8)）で、二次的運動量積分を有する。 (2) 楕円座標におけるダーボウクス型ポテンシャル（式 (11)）。
• 光学インサートに薄レンズ近似を適用し、水平方向と垂直方向の焦点が等しくなるようにし、対称的なベータ関数を実現する。
• 多重極展開を用いて、ポテンシャルの最低次成分（例：電気双極子、四極子）を分析する。
• 20〜50個の短い非線形要素（例：八極子、六極子）を用いた実現法を提案。その強度は β(s)⁻³ に比例してスケーリングされ、時間依存性が相殺される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な位相空間領域にわたり、安定で有界な運動を示す可積分な非線形加速器格子を構築可能か？
• RQ2 4次元位相空間において、時間に依存しないハミルトニアンと2つの運動積分を持つような場の配置は何か？
• RQ3 このような可積分な非線形格子で、ベータトロン・チューンスプリッドはどの程度まで拡大可能か？
• RQ4 四極子やソレノイドなどの既存の加速器部品を用いて、これらの格子を実用的に実現可能か？
• RQ5 このような非線形可積分系で達成可能な最大のダイナミックアパーチャーと安定性範囲は何か？

主な発見

• 式 (8) のポテンシャルは、全エネルギーと非線形不変量 I の2つの運動積分をもたらし、可積分性と安定運動を保証する。
• 式 (8) のポテンシャルに対して、I > √(a² + b²) であれば軌道は原点を避けるため、適切なビーム分布を用いた安全な注入が可能である。
• c = 1 かつ t = -0.4 とした式 (15) のダーボウクス型ポテンシャルは、四極子に類似した場を生成し、安定で可積分な運動を実現する。
• 小振幅では、1つの平面でベータトロン・チューンスプリッドが100%に達し、もう一方の平面で約40%に達する。理想的な薄レンズインサートを想定した場合。
• 図2に示すように光学インサートの位相進みが π である場合、最大チューンスプリッドはそれぞれ50%および20%に低下する。
• 等高線プロット（図3および図4）により、強い非線形性下でも大規模な安定した位相空間体積と有界な運動が確認された。