[論文レビュー] A Second Main Theorem for Moving Hypersurface Targets

Gerd Dethloff, Van Tan Tran|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2007

Meromorphic and Entire Functions参考文献 21被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、ℂ^m から ℂP^n への代数的に非退化なメモルフィック写像に対して、ゆっくり動く超曲面を(弱く)一般位置に置いた第二主要定理を確立する。Ruの固定された超曲面に対する結果を一般化する。計数関数に明示的な切り上げレベルを導入し、An-Phuongの研究を拡張し、特徴関数と計数関数の間の鋭い不等式を、切り上げレベルに対する有効な境界を含めて得る。

ABSTRACT

In 1979, B. Shiffman conjectured that if f is an algebraically nondegenerate holomorphic map of C into P^n and D_1,...,D_q are hypersurfaces in P^n in general position, then the sum of the defects is at most n+1. This conjecture was proved by M. Ru in 2004. In this paper, the Shiffman conjecture is proved more generally in the case of slowly moving hypersurfaces in (weakly) general position. Moreover, we introduce a truncation in the corresponding Second Main Theorem, with an effective estimate on the truncation level, thus generalizing a result of An-Phuong.

研究の動機と目的

• 固定された超曲面が一般位置にある場合のRuの第二主要定理を、ℂP^nにおけるゆっくり動く超曲面に一般化すること。
• An-Phuongの切り上げに関する結果を、移動する標的に対して明示的な切り上げレベルの推定を提供することで拡張すること。
• メルモルフィック写像の特徴関数とその移動超曲面との交点の計数関数の間の鋭い不等式を確立すること。
• 切り上げレベルが移動超曲面の係数関数の次数と成長度に有効に依存することを証明すること。
• 移動超曲面の係数関数が生成する体上で写像が代数的に非退化であるという条件下で、主不等式が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、ℂ^m 上の正則関数 fᵢ を用いたメルモルフィック写像 f = (f₀ : … : fₙ) の縮約表現を用いる。
• 特徴関数 T_f(r) は、形式 σ = dᶜlog‖z‖² ∧ (ddᶜlog‖z‖)ᵐ⁻¹ を用いて球面上での積分により定義される。
• 計数関数 N_f(r, Q) は切り上げレベル L を導入し、Q(f₀,…,fₙ) の零点の位数を最大 L まで数える。
• 主要な技術的手段として、補助関数と Wronskian W_J を構成し、移動超曲面 Q_j との交点の成長を制御する。
• 不等式の導出には、Jensenの公式と対数積分の成長に関する推定を用いる。
• 切り上げレベル L_j は、L_j = [d_jL/d + 1] として明示的に推定される。ここで d は超曲面の次数 d_j の最小公倍数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネヴァンリンナ理論における第二主要定理を、固定されたものに限らず、一般位置にある移動超曲面へ拡張できるか？
• RQ2 標的が移動する場合、第二主要定理における計数関数の最適な切り上げレベルは何か？
• RQ3 移動超曲面の係数体上で写像の代数的非退化性が欠損関係に与える影響は何か？
• RQ4 切り上げレベルが移動超曲面の係数関数の次数と成長度にどのように依存するか？
• RQ5 主不等式を、切り上げレベルに対する明示的な境界を含めて有効に一般化できるか？

主な発見

• 本稿は、q ≥ n+2 個の超曲面 Q_j が(弱く)一般位置にあるとき、ℂ^m から ℂP^n へのメルモルフィック写像 f がゆっくり動く超曲面 Q_j と交差する第二主要定理を確立する。
• d が超曲面 Q_j の次数 d_j の最小公倍数であるとき、明示的な切り上げレベル L_j = [d_jL/d + 1] が導出される。
• 主不等式は、r → ∞ のとき、(q - n - 1 - ε)T_f(r) ≤ ∑_{j=1}^q (1/d_j) N_f^{(L_j)}(r, Q_j) + o(T_f(r)) として示される。
• この結果は、Ruの固定標的に対する第二主要定理を一般化し、An-Phuongの切り上げに関する結果を、有効な境界を伴う移動標的へ拡張する。
• 証明は、補助的Wronskian型行列式の構成と、Jensenの公式を用いた対数積分の成長制御に依存する。
• 切り上げレベルのおかげで、超曲面が写像に対してゆっくり動いていようとも、計数関数が特徴関数に対して有界に保たれる。