[論文レビュー] A second-order accurate structure-preserving scheme for the Cahn-Hilliard equation with a dynamic boundary condition

Makoto Okumura, T. Fukao+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2020

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、離散変分導数法（DVDM）を用いて、動的境界条件を伴うCahn–Hilliard方程式に対して、2次精度で構造を保存する有限差分スキームを提案する。エネルギー離散化を再定式化し、和分ごとの積分公式を適用することで、空間的2次精度を達成するとともに、質量保存およびエネルギー散逸を保持し、安定性、解の存在および一意性を保証する。数値例により検証された。

ABSTRACT

We propose a structure-preserving finite difference scheme for the Cahn-Hilliard equation with a dynamic boundary condition using the discrete variational derivative method (DVDM). In this approach, it is important and essential how to discretize the energy which characterizes the equation. By modifying the conventional manner and using an appropriate summation-by-parts formula, we can use a standard central difference operator as an approximation of an outward normal derivative on the discrete boundary condition of the scheme. We show that our proposed scheme is second-order accurate in space, although the previous structure-preserving scheme by Fukao-Yoshikawa-Wada (Commun. Pure Appl. Anal. 16 (2017), 1915-1938) is first-order accurate in space. Also, we show the stability, the existence, and the uniqueness of the solution for the proposed scheme. Computation examples demonstrate the effectiveness of the proposed scheme. Especially through computation examples, we confirm that numerical solutions can be stably obtained by our proposed scheme.

研究の動機と目的

• 動的境界条件を伴うCahn–Hilliard方程式に対して、高次精度の数値スキームを構築し、重要な物理的構造を保存すること。
• 従来の構造保存型スキームが示す1次空間精度の制限を克服すること。
• 構造保存型離散化により、数値的安定性および解の存在・一意性を保証すること。
• 長時間シミュレーション例を通じて、スキームの性能を検証すること。その結果、安定的かつ物理的に整合性のある振るまいを示した。

提案手法

• スキームは、連続問題のエネルギー散逸および質量保存性を保存するため、離散変分導数法（DVDM）を用いる。
• 空間的2次精度を達成するために、修正されたエネルギー離散化と特定の和分ごとの積分公式を組み合わせる。
• 境界における外向き法線微分は、離散境界条件を丁寧に取り扱うことで、標準的な中央差分演算子を用いて近似する。
• スキームは半implicit形式で定式化され、自由エネルギーの凸分割を用いて化学ポテンシャル $ P $ を更新する。
• 離散境界条件により、$ u $ および $ p $ に対して同様に均一なノイマン条件を強制し、連続問題と整合性を保つ。
• エネルギー推定を用いて、スキームが質量保存およびエネルギー散逸を保持することを証明し、安定性および解の存在・一意性を確立した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的境界条件を伴うCahn–Hilliard方程式に対する構造保存型有限差分スキームは、空間的2次精度を達成できるか？
• RQ2 高次精度を達成しつつ物理的構造を保存するように、離散境界処理をどのように設計できるか？
• RQ3 提案スキームは長時間シミュレーションにおいても質量保存およびエネルギー散逸を維持するか？
• RQ4 標準的ノイマン条件と比較して、動的境界条件は解の長時間的挙動にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 提案スキームは空間的2次精度を達成し、Fukao–Yoshikawa–Wadaが提案した従来の構造保存型スキームの1次精度を上回る。
• 数値実験において、質量保存が14桁の精度で保持された。これにより、スキームの構造保存性が裏付けられた。
• エネルギー散逸が数値的に保持され、離散エネルギー関数が時間とともに単調に減少した。
• 長時間シミュレーションにおいて解は安定しており、数値的爆発や振動は観測されなかった。
• 数値結果により、動的境界条件が標準的ノイマン境界条件と比較して異なる長時間挙動を引き起こすことが確認された。
• 離散エネルギー関数 $ A_{ m d}^{(n)} $ が9桁の精度で保存された。これにより、スキームの構造保存性がさらに裏付けられた。