[論文レビュー] A Second Order Energy Stable Scheme for the Cahn-Hilliard-Hele-Shaw Equations

Wenbin Chen, Wenqiang Feng+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2016

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、時間積分に修正されたクランク・ニコルソンおよびアダムス・ムールトン法を用い、非線形項に対して凸分割と半implicit処理を施した、Cahn-Hilliard-Hele-Shaw方程式の2次精度で、無条件エネルギー安定な有限差分スキームを提示する。このスキームは一意的可解性を保証し、εに依存しないℚ^∞(0,T;H_h^1)誤差推定を通じて最適収束率を達成する。数値実験により検証されている。

ABSTRACT

We present a second-order-in-time finite difference scheme for the Cahn-Hilliard-Hele-Shaw equations. This numerical method is uniquely solvable and unconditionally energy stable. At each time step, this scheme leads to a system of nonlinear equations that can be efficiently solved by a nonlinear multigrid solver. Owing to the energy stability, we derive an $\ell^2 (0,T; H_h^3)$ stability of the numerical scheme. To overcome the difficulty associated with the convection term $ abla \cdot (ϕ\boldsymbol{u})$, we perform an $\ell^\infty (0,T; H_h^1)$ error estimate instead of the classical $\ell^\infty (0,T; \ell^2)$ one to obtain the optimal rate convergence analysis. In addition, various numerical simulations are carried out, which demonstrate the accuracy and efficiency of the proposed numerical scheme.

研究の動機と目的

• Cahn-Hilliard-Hele-Shaw系に対して、無条件エネルギー安定性を維持する2次時間精度の数値スキームを開発すること。
• 従来のℚ^∞(0,T;ℓ^2)ではなく、より自然なℚ^∞(0,T;H_h^1)誤差推定を用いることで、エネルギー安定性および収束解析における対流項∇·(ϕu)の取り扱いの課題を克服すること。
• この系において、2次精度スキームの最適収束率解析を確立すること。これは、文献において稀である。
• 各時間ステップで非線形多重グリッドソルバーを用いることで、一意的可解性とロバスト性を保証すること。
• 2次元および3次元の広範な数値実験を通じて、スキームの精度と効率を検証すること。

提案手法

• 時間方向の2次精度を達成するために、非線形化学ポテンシャル項に修正されたクランク・ニコルソンスキームを適用する。
• 最高次の表面拡散項に対して、時間レベルt^{n+1}およびt^{n-1}におけるアダムス・ムールトン補間公式を用いることで、安定性および収束解析を向上させる。
• エネルギーの凹型部分をアダムス・バッシュフォース補外を用いて明示的に処理し、エネルギー安定性を維持する。
• 対流項∇·(ϕu)は半implicitに処理され、相変数ϕは外挿され、速度場はダルシーの法則に従って暗黙的に更新される。
• 凸分割戦略を用いてエネルギーを凸型と凹型に分割し、無条件エネルギー安定性を実現する。
• 各時間ステップにおける得られた非線形系は、非線形多重グリッドソルバーを用いて効率的に解かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cahn-Hilliard-Hele-Shaw系に対して、無条件エネルギー安定かつ一意的可解である2次時間精度の有限差分スキームを構築可能か？
• RQ2 対流項∇·(ϕu)はどのように取り扱うべきか？これにより、従来のℓ^∞(0,T;ℓ^2)とは異なるより自然なノルムにおける最適収束解析が可能になるか？
• RQ3 この系において2次精度スキームが達成可能な最適収束率は何か？また、修正された時間積分戦略を用いて、これを厳密に証明可能か？
• RQ4 スキームが時間刻み幅に依存せずにエネルギー安定性を維持できることを示せるか？特に大きな時間刻み幅に対しても成立するか？
• RQ5 提案スキームは2次元および3次元のベンチマーク問題において、精度と効率の両面でどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案スキームは無条件エネルギー安定であり、時間刻み幅にかかわらず離散エネルギーが時間経過とともに減少する。
• 各時間ステップで一意的可解性が保証され、適切に定義された数値解が得られる。
• ℓ^2(0,T;H_h^3)の安定性推定が導出され、数値解の高い正則性が示された。
• ℓ^∞(0,T;H_h^1)の誤差推定が確立され、従来のℓ^∞(0,T;ℓ^2)とは異なり、より緩いノルム下でも最適2次収束が可能であることが示された。
• 数値実験により、時間方向の2次収束が確認され、2次元および3次元領域におけるロバスト性と効率性が示された。
• 非線形多重グリッドソルバーは各時間ステップにおける系の解法を効率的に実行し、スキームの実用的妥当性を維持している。