[論文レビュー] A Selberg Integral Type Formula for an sl_2 One-Dimensional Space of Conformal Blocks

Alexander Varchenko|ArXiv.org|Oct 19, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、リーマン球面上の $ \mathfrak{sl}_2 $ 共形ブロックのレベル1における1次元空間に対して、セルバーグ積分型の公式を導出する。$ 2N $ 個の変数において、各変数に関して一次で、$ \mathfrak{sl}_2 $-不変かつ同次的である多項式 $ P(\boldsymbol{y};\boldsymbol{z}) $ を構成し、$ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{z} $ で $ N-1 $ 階の零点を持つ。また、多変数セルバーグ型積分を用いた共形ブロックの明示的超幾何積分表現を提示し、ガンマ関数および単位根を用いて正確な正規化定数 $ C $ を得る。

ABSTRACT

For distinct complex numbers $z_1,...,z_{2N}$, we give a polynomial $P(y_1,...,y_{2N})$ in the variables $y_1,...,y_{2N}$, which is homogeneous of degree $N$, linear with respect to each variable, $sl_2$-invariant with respect to a natural $sl_2$-action, and is of order $N-1$ at $(y_1,...,y_{2N})=(z_1,...,z_{2N})$. We give also a Selberg integral type formula for the associated one-dimensional space of conformal blocks.

研究の動機と目的

• リーマン球面上の $ \mathfrak{sl}_2 $ 共形ブロックの1次元空間に属する明示的な生成子を構成すること。
• このバンドル上のキニジフ＝サモロフチキン接続の平坦セクションの超幾何積分表現の閉形式を提供すること。
• 関連する超幾何積分の漸近的挙動とモノドロミーを解析することで、共形ブロックに対するセルバーグ型積分公式を確立すること。
• 積分と多項式生成子 $ P(\boldsymbol{y};\boldsymbol{z}) $ を結ぶ正確な正規化定数 $ C $ を特定すること。

提案手法

• 多項式 $ P(\boldsymbol{y};\boldsymbol{z}) = \det_{1\leq a,b\leq N}\left(\frac{y_a - y_{N+b}}{z_a - z_{N+b}}\right) $ を構成し、これは次数 $ N $ の同次的多項式であり、各 $ y_i $ に関して一次で、$ \mathfrak{sl}_2 $-不変である。
• 共形ブロックバンドル上のKZ接続を用い、平坦セクションを $ \tilde{s}(\boldsymbol{z}) = \tilde{A}(\boldsymbol{z}) P(\boldsymbol{y};\boldsymbol{z}) $ と表現する。ここで $ \tilde{A}(\boldsymbol{z}) $ は正則特異点を持つ接続のモノドロミーによって定まる多価関数である。
• 超幾何積分 $ I_\gamma(\boldsymbol{z}) $ の漸近的挙動を $ z_{N+a} - z_a \to 0 $ のとき解析し、モノドロミー因子 $ \prod_{a<b}(z_b - z_a)^{\alpha_{a,b}} $ の指数 $ \alpha_{a,b} $ を特定する。
• 積分 $ I_\gamma(\boldsymbol{z}) $ と $ \tilde{A}(\boldsymbol{z}) P(\boldsymbol{y};\boldsymbol{z}) $ の漸近的挙動を比較することで正規化を固定し、$ \alpha_{a,N+a} = 1/2 $ であり、他の場合 $ \alpha_{a,b} = 0 $ であることを示し、$ A(\boldsymbol{z}) $ の完全な形を特定する。
• ガンマ関数の恒等式とモノドロミー情報から、正規化定数 $ C = e^{-\pi i N^2/3} (3e^{\pi i/6} \Gamma(2/3)^3 \sin(\pi/3)/\pi)^N $ を導出する。
• 積分の $ y_1 \cdots y_N $ の係数を等置することで、式 (5.5) のセルバーグ型公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン球面上の $ 2N $ 個のマークドポイントを持つ $ \mathfrak{sl}_2 $ 共形ブロックのレベル1における1次元空間の明示的生成子の形は何か？
• RQ2 この状況下で、KZ接続の平坦セクションの超幾何積分表現をどのように明示的に評価できるか？
• RQ3 多変数超幾何積分と $ \mathfrak{sl}_2 $-不変多項式生成子を結ぶ正確な正規化定数は何か？
• RQ4 積分のモノドロミー性質と漸近的挙動は、共形ブロックセクションの構造をどのように特定するか？

主な発見

• 多項式 $ P(\boldsymbol{y};\boldsymbol{z}) = \sum_{\sigma \in S_N} (-1)^\sigma \prod_{a=1}^N \frac{y_{\sigma_a} - y_{N+a}}{z_{\sigma_a} - z_{N+a}} $ は、レベル1の $ \mathfrak{sl}_2 $ 共形ブロックの1次元空間を生成する。
• KZ接続の平坦セクションは $ s(\boldsymbol{z}) = A(\boldsymbol{z}) P(\boldsymbol{y};\boldsymbol{z}) $ で与えられ、ここで $ A(\boldsymbol{z}) = \prod_{1\leq a<b\leq 2N} (z_b - z_a)^{\alpha_{a,b}} $ であり、$ \alpha_{a,N+a} = 1/2 $、それ以外では $ \alpha_{a,b} = 0 $ である。
• セルバーグ型公式における正規化定数は $ C = e^{-\pi i N^2/3} (3e^{\pi i/6} \Gamma(2/3)^3 \sin(\pi/3)/\pi)^N $ であり、漸近的解析とガンマ関数の恒等式から導出される。
• 超幾何積分 $ I_\gamma(\boldsymbol{z}) $ は $ C \cdot s(\boldsymbol{z}) $ に等しく、両辺の $ y_1 \cdots y_N $ の係数が正確に一致する。
• 式 (5.5) は、$ N $ 重積分の $ N $ 重積の形で、$ \mathfrak{sl}_2 $-不変多項式と差 $ z_b - z_a $ の累乗を含む有限和として表される。これにより、セルバーグ型構造が確認される。
• 本結果により、共形ブロック空間が1次元であることが確認され、特殊関数を含む閉形式表現を用いた、関連する超幾何積分の完全かつ明示的な評価が得られた。