[論文レビュー] A self adjusting multirate algorithm based on the TR-BDF2 method

Luca Bonaventura, Francesco Casella+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2018

Numerical methods for differential equations参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、剛性ODEおよび双曲型PDEに対して、TR-BDF2スティマーを基盤とする自己調整型マルチレート時間積分法を提案する。局所誤差推定器を用いて各成分ごとに時間ステップを動的に調整し、TR-BDF2が備える埋め込まれた誤差制御および3次ヘルミート補間を活用することで、特にショック波のような局所的動的現象を示す問題において、計算効率を顕著に向上させつつ、剛性および双曲型問題の両方で精度と安定性を維持する。

ABSTRACT

We propose a self adjusting multirate method based on the TR-BDF2 solver. The potential advantages of using TR-BDF2 as the key component of a multirate framework are highlighted. A linear stability analysis of the resulting approach is presented and the stability features of the resulting algorithm are analysed. The analysis framework is completely general and allows to study along the same lines the stability of self adjusting multirate methods based on a generic one step solver. A number of numerical experiments demonstrate the efficiency and accuracy of the resulting approach also the time discretization of hyperbolic partial differential equations.

研究の動機と目的

• 広範な時間スケールを有する系において、単一レート時間積分の計算非効率性を解消すること。
• 特に剛性および双曲型問題において、既存のマルチレート法に見られる安定性および効率性の制限を克服すること。
• TR-BDF2法の優れた特性（L安定性、埋め込まれた誤差推定、連続出力）を活用し、強固なマルチレート積分を実現すること。
• 適応的時間刻みの精錬を通じて、活性（高速）および非活性（低速）成分の自動検出を可能にすること。
• 非線形双曲型PDE（ショック波および希薄波を含む）を含むベンチマーク問題において、本手法の有効性を実証すること。

提案手法

• グローバル時間ステップをTR-BDF2を用いて一時的に取得し、その後局所誤差許容範囲を超える成分に対してのみステップを精錬する、自己調整型マルチレート戦略を採用する。
• 2次精度、L安定性、埋め込まれた3次誤差推定器を有するため、TR-BDF2法をベースの単一レート積分器として採用する。
• 局所誤差推定に基づく分割基準を用い、誤差が大きい成分（活性）は小刻みステップ、それ以外（非活性）は大規模ステップを適用する。
• 時間ステップ精錬時における精度維持のため、特に剛性および過渡現象において重要となる、3次ヘルミート補間を用いた連続出力を行う。
• グローバルな剛性制約を回避するため、必要最小限の領域でのみ精錬を局所化する再帰的時間ステッピング戦略を実装する。
• 任意の1段階法に適用可能な線形安定性解析フレームワークを採用し、ここではマルチレート文脈におけるTR-BDF2に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TR-BDF2に基づく自己調整型マルチレート法は、単一レートスティマーと比較して、剛性および双曲型問題において安定性と効率性の向上を達成できるか？
• RQ2 結合強度および剛性が変化する条件下で、マルチレートTR-BDF2法の安定性はどのように振る舞うか。特に、純虚数固有値を有する問題においては？
• RQ3 線形補間と比較して、3次ヘルミート補間を用いることで、マルチレートスキームにおける精度向上およびステップ拒否の低減はどの程度達成されるか？
• RQ4 本手法は、ショック波や希薄波のような局所的現象を、最小限のユーザー介入で自動的に検出し、解像できるか？
• RQ5 バーガース方程式のようなベンチマーク非線形双曲型PDEに適用した際の、計算上の節約と精度のトレードオフは何か？

主な発見

• 自己調整型マルチレートTR-BDF2法は、特にショック波のような局所的動的現象を示す問題において、非活性成分の時間ステップ数を削減することで、顕著な計算効率の向上を達成する。
• 数値実験の結果、3次ヘルミート補間は性能上不可欠であることが示された。線形補間では過剰なステップ拒否が生じ、単一レートTR-BDF2と比較して計算効率の向上が得られなかった。
• 3次ヘルミート補間を用いたマルチレートTR-BDF2、線形補間、単一レートTR-BDF2の各手法における相対誤差は同等であり、すべての手法で一貫した精度を示した。
• MATLABのode45を用いた高精度基準解と比較した結果、すべてのバージョンで誤差が数桁以上小さくなった。これは、空間的および時間的離散化誤差が適切に制御されていることを確認した。
• 純虚数固有値を有する問題に対しても、本手法は良好な安定性を示した。これは、双曲型PDEや構造動力学への応用可能性を示唆するが、完全な理論的安定性証明は未だ存在しない。
• 希薄波ケースでは、活性成分の割合が高く、ショック波ケースと比較して計算上の節約効果は顕著でなかった。これは、解の活動範囲がより広範であることに起因する。