[論文レビュー] A selfadjoint variant of the time operator

Rafael de la Madrid, J. M. Isidro|ArXiv.org|Feb 12, 2007

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非自己共役時間演算子 $T^2$ のフレドリクス拡張の正の平方根として構成される自己共役時間演算子 $T_{\sqrt{}}$ を導入する。ホロモーフィック・フーリエ変換とスペクトル論を活用することで、$T_{\sqrt{}}$ は実数で正のスペクトルと明確に定義された時間表現を達成するが、ハミルトニアンと正しく交換関係を満たさない。主な貢献は、スペクトル的および表現論的問題を解消する自己共役型時間演算子の構築であり、それに伴い修正されたヘイゼンベルク型代数が得られる。

ABSTRACT

We study the selfadjoint time operator recently constructed by one of the authors. We will show that this time operator must be interpreted as a ``selfadjoint variant'' of the time operator.

研究の動機と目的

• 量子力学における自己共役時間演算子を構築するという長年の問題に取り組む。これは、パウリの定理により、有下界のハミルトニアンと正しく交換関係を満たすことは不可能である。
• 非自己共役時間演算子の限界、すなわち複素スペクトルや正の自己作用素測度（POVM）に依存する点を克服する。これらは適切なヒルベルト空間表現を持たない。
• 実スペクトルと明確な時間表現を持つ自己共役時間観測量を構築し、標準的な量子力学的観測量と整合性を持つようにする。
• 時間演算子 $T_{\sqrt{}}$ とハミルトニアン $H$ が生成する代数的構造を分析し、正しく交換関係を満たさないため、ヘイゼンベルク代数の変種が形成されることを示す。

提案手法

• エネルギー表現におけるホロモーフィック・フーリエ変換（HFT）を用い、元の非自己共役時間演算子 $T$ を $i\hbar \, d/dE$ として定義する。
• $T^2 = -\hbar^2 d^2/dE^2$ を構築し、そのフレドリクス拡張 $T_F^2$ を特定する。$T_F^2$ は自己共役であり、$f(0) = 0$ かつ $f \in AC^2([0,\infty))$ を満たす関数の定義域を持つ。
• 自己共役時間演算子を $T_{\sqrt{}} = +\sqrt{T_F^2}$ として定義し、スペクトル定理により実スペクトル $[0,\infty)$ と自己共役性を保証する。
• 時間表現を確立し、$T_{\sqrt{}}$ が $t$ による乗法作用として作用することを示す。固有関数はHFTから得られる正弦関数である。
• $T_{\sqrt{}}$ が正しく交換関係 $[T_{\sqrt{}}, H] = i\hbar \mathbf{1}$ を満たさないことを示し、これにより元の $T$ とは異なり「自己共役型変種」として特徴づけられる。
• $I = [T_{\sqrt{}}, H]$ を用いて代数 $\mathcal{A} = \{T_{\sqrt{}}, H, I, 1\}$ を構成する。これは交換子の閉包が生成子で表せないため、リー代数ではなく包あらわし代数（enveloping algebra）である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の非自己共役時間演算子 $T$ のスペクトル的および表現論的問題を回避する自己共役時間演算子を構築できるか？
• RQ2 得られた自己共役演算子 $T_{\sqrt{}}$ は意味のある時間表現を保つのか？POVMに基づく手法とはどのように異なるか？
• RQ3 $T_{\sqrt{}}$ とハミルトニアン $H$ が生成する代数的構造は何か？標準ヘイゼンベルク代数とはどのように異なるか？
• RQ4 $T_{\sqrt{}}$ がハミルトニアンと正しく交換関係を満たさない理由は何か？量子力学にどのような意味を持つのか？
• RQ5 交換子の閉包を保ちつつ、自己共役性と物理的整合性を維持するように代数的枠組みを修正できるか？

主な発見

• 演算子 $T_{\sqrt{}}$ は自己共役であり、スペクトル $\sigma(T_{\sqrt{}}) = [0, \infty)$ を有する。これは $T^2$ のフレドリクス拡張の平方根から得られる。
• 時間演算子 $T_{\sqrt{}}$ に関連する時間表現は明確に定義されており、$T_{\sqrt{}}$ は $t$ による乗法作用として作用する。固有関数は $\psi_t(E) \propto \sin(\sqrt{E}t/\hbar)$ で与えられる。
• 自己共役であるが、正しく交換関係 $[T_{\sqrt{}}, H] = i\hbar \mathbf{1}$ を満たさないため、元の $T$ とは区別される。
• 生成子 $T_{\sqrt{}}$, $H$, および交換子 $I = [T_{\sqrt{}}, H]$ からなる代数は、交換子が生成子で閉じないため、リー代数ではなく包あらわし代数（enveloping algebra）である。
• 時間演算子 $T_{\sqrt{}}$ を $T_{\sqrt{}}^2$ に置き換え、非自己共役な $T$ を含めることでリー代数を構成できるが、その代償として時間観測量の自己共役性を失う。
• この構成法は、3次元の径方向運動量や半直線上の運動量など、他の演算子に対しても一般化可能であり、同様のスペクトル的手法により自己共役型変種が得られる。