[論文レビュー] A Semi-Algebraic Framework for Verification and Synthesis of Control Barrier Functions

Andrew L. Clark|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2022

Formal Methods in Verification被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非線形制御系における制御バリア関数（CBF）の正確な検証および合成のため、ポジティブステレーゼンツに基づく半代数的枠組みを提示する。本手法は、制御入力の制限、三角関数的ダイナミクス、Euler-Lagrange系を含むさまざまな制約下でCBFを検証するための凸的・二乗和（SOS）計画問題を定式化し、3つの合成アルゴリズムを提案する。そのうちの1つは、局所的2次収束を示す新規なニュートン法に基づく手法であり、複雑なシステムにおける検証可能かつ安全な保証を可能にする。

ABSTRACT

Safety is a critical property for control systems in medicine, transportation, manufacturing, and other applications, and can be defined as ensuring positive invariance of a predefined safe set. This paper investigates the problems of verifying positive invariance of a semi-algebraic set as well as synthesizing sets that can be made positive invariant through Control Barrier Function (CBF)-based control. The key to our approach consists of mapping conditions for positive invariance to sum-of-squares constraints via the Positivstellensatz from real algebraic geometry. Based on these conditions, we propose a framework for verifying safety of CBF-based control including single CBFs, high-order CBFs, multi-CBFs, and systems with trigonometric dynamics and actuation constraints. In the area of synthesis, we propose algorithms for constructing CBFs, namely, an alternating-descent approach and a local CBF approach. We evaluate our approach through case studies on quadrotor UAV and power converter test systems.

研究の動機と目的

• 非線形システムにおける複雑なダイナミクスと制約を伴う制御バリア関数（CBF）の完全かつ検証可能な方法の欠如に対処すること。
• 有効なCBFを検証できない可能性がある既存の二乗和（SOS）ヒューリスティクスの不完全性を克服すること。
• 有効なCBFに収束する保証があり、検証可能な安全性を有する合成アルゴリズムの開発。
• 高次CBF、CBFの和集合および積集合、三角関数的およびEuler-Lagrangeダイナミクスを伴うシステムへのCBF検証および合成の拡張。
• 安全を最優先とする制御システム設計のための統一的かつ正確で、計算的に扱いやすい枠組みの提供。

提案手法

• 代数的幾何学的ポジティブステレーゼンツを用いて、関数が有効なCBFであることを正確に検証するための凸的SOS条件を導出する。
• ファルカスの補題およびその一般化を適用して、制御入力の超立方体の頂点での条件の検証に帰着することで、制御入力制限を伴うシステムを扱う。
• Lie微分条件を多項式不等式系に再定式化することで、Euler-Lagrangeダイナミクスを有するシステムにおけるCBFの正確なSOSプログラムを導出する。
• 関数空間におけるニュートン法をCBF合成のために提案し、局所的2次収束が保証されることを証明する。
• 固定点およびドリフトレスダイナミクスを有するシステムのための交互降下アルゴリズムと局所的CBF構築法を導入する。
• 複数のCBFの和集合および積集合、高次CBF、半代数的で安全な集合を扱うためのフレームワークの一般化。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的幾何学的手法を用いて、制御入力制限を伴う非線形システムにおけるCBFの正確かつ完全な検証が可能か。
• RQ2 ポジティブステレーゼンツをどのように活用して、非多項式的ダイナミクスを有するシステムにおける凸的SOS計画問題をCBF検証に適用できるか。
• RQ3 有効なCBFに収束する保証があり、検証可能な安全性を有する合成アルゴリズムは何か、特に高次または制約付きシステムにおいて。
• RQ4 Euler-Lagrangeおよび三角関数的ダイナミクスを伴う複雑なシステムの検証および合成を、正当性保証とともにフレームワークに拡張可能か。
• RQ5 CBF合成のためのニュートン法の収束速度は何か。また、有効なCBFへの局所的収束を保証するか。

主な発見

• CBFの検証問題はNP困難であることが証明され、既存のSOSに基づくヒューリスティクスは不完全であることが示され、正確な手法の必要性が強調される。
• 提案されたポジティブステレーゼンツに基づく枠組みは、制御入力制限やEuler-Lagrangeダイナミクスを伴う広範なクラスのシステムにおいて、正確かつ凸的SOS条件を提供する。
• 局所的2次収束を保証するニュートン法に基づく合成アルゴリズムが提案され、文献においては新規な結果である。
• 高次CBF、CBFの和集合および積集合、三角関数的ダイナミクスを伴うシステムへの拡張が、十分なSOSに基づく条件によって成功裏に実現される。
• 交互降下および局所的CBF合成法は、先行研究を一般化し、ドリフトレスおよび固定点を有するシステムに適用可能である。
• 理論的およびシミュレーション結果により、自律走行車両やロボットアームなどの実世界の安全を最優先とするシステムへの適用可能性が確認された。