[論文レビュー] A semi-finite algebra associated to a planar algebra

Alice Guionnet, Vaughan F. R. Jones+1 more|ArXiv.org|Nov 25, 2009

Advanced Operator Algebra Research被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、非単位的トレース的帰納的極限代数上のGNS構成を用いて、部分因子平面代数から2つの半有限型II∞ von Neumann代数 𝔐₊ および 𝔐₋ を構成する。また、先行研究で得られた有限指数の部分因子 Mₖ が、δ² が指数で I がグローバル指数である rₖ = 1 + 2δ⁻²ᵏ(δ−1)I を持つ補間自由群因子 L(𝔽(rₖ)) に同型であることを証明し、自由確率論を用いてジョーンズ・ウェンツル射影の連続分布を計算する。

ABSTRACT

We canonically associate to any planar algebra two type II_{\infty} factors M_{+} and M_{-}. The subfactors constructed previously by the authors in a previous paper are isomorphic to compressions of M_{+} and M_{-} to finite projections. We show that each \mathfrak{M}_{\pm} is isomorphic to an amalgamated free product of type I von Neumann algebras with amalgamation over a fixed discrete type I von Neumann subalgebra. In the finite-depth case, existing results in the literature imply that M_{+} \cong M_{-} is the amplification a free group factor on a finite number of generators. As an application, we show that the factors M_{j} constructed in our previous paper are isomorphic to interpolated free group factors L(\mathbb{F}(r_{j})), r_{j}=1+2δ^{-2j}(δ-1)I, where δ^{2} is the index of the planar algebra and I is its global index. Other applications include computations of laws of Jones-Wenzl projections.

研究の動機と目的

• 平面代数に自然に付随する半有限型II∞因子 𝔐₊ および 𝔐₋ を、トレース的帰納的極限代数上のGNS構成を用いて定義する。
• 平面代数のGNS表現から得られる有限指数の部分因子 Mₖ の同型類を特定する。
• 関連するII∞因子の構造と自由確率論を用いて、ジョーンズ・ウェンツル射影の連続分布を計算する。
• GNS構成のためのランダム行列モデルを提供し、スペクトル分布の明示的計算を可能にする。

提案手法

• 特定の影付き図式とタングル演算による乗法を用いて、平面代数から非単位的トレース的帰納的極限代数 V₊ を構成する。
• すべてのテンパーリー＝リーブ図式の和を用いて V₊ 上にトレース Tr を定義し、GNS構成を適用して半有限型 von Neumann代数 𝔐₊ を得る。
• 各 𝔐₊ および 𝔐₋ が固定された離散的型I部分代数を基準として、型I von Neumann代数のアーマルガメートド自由積に同型であることを示す。
• 有限深さの平面代数に対して、Dykemaの自由積の分類結果を用いて、𝔐₊ および 𝔐₋ が自由群因子の拡張に同型であることを証明する。
• GNS表現のランダム行列モデルを用いて、演算子を独立なブロック行列としてモデル化し、自由独立性およびS変換の計算を可能にする。
• 自由確率論の道具、特にS変換を用いて、ジョーンズ・ウェンツル射影 JWₙ のスペクトル法 νₙ を再帰的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面代数に自然に付随する半有限型 von Neumann代数 𝔐₊ および 𝔐₋ の構造は何か？
• RQ2 GNS表現によって得られる有限指数の部分因子 Mₖ は、同型を除いてどのように分類できるか？
• RQ3 平面代数のGNS表現におけるジョーンズ・ウェンツル射影 JWₙ の連続分布は何か？
• RQ4 先行研究で用いられたランダム行列モデルは、II∞因子の構造から厳密に導出可能か？
• RQ5 S変換はどのようにして JWₙ のスペクトル法の再帰的計算を可能にするか？

主な発見

• 有限指数の部分因子 Mₖ は、δ² が指数で I が平面代数のグローバル指数である rₖ = 1 + 2δ⁻²ᵏ(δ−1)I を持つ補間自由群因子 L(𝔽(rₖ)) に同型である。
• 各 𝔐₊ および 𝔐₋ は、固定された離散的型I部分代数を基準として、型I von Neumann代数のアーマルガメートド自由積に同型である。
• 有限深さの場合、Dykemaの自由積分類結果により、𝔐₊ および 𝔐₋ の同型類は自由群因子の拡張に一致する。
• ジョーンズ・ウェンツル射影の連続分布は自由独立性を用いて再帰的に計算され、νₙ = π_{μₙ₊₁/μₙ} ⨂ (μₙ⁻¹νₙ₋₁ + (1−μₙ⁻¹)δ₀) で与えられ、μ₁ = 1 である。
• スペクトル法 νₙ のS変換は再帰的関係 Ξₙ(z) = Ξₙ₋₁(μₙz) ⋅ μₙ(μₙ + μₙz) / ((1 + μₙz)(μₙ₊₁ + μₙz)) を満たし、初期条件は Ξ₁(z) = 1/(z + μ₂) である。
• GJS08で用いられたランダム行列モデルは、M₀ と 𝔐₊ の圧縮の同型から導出可能であり、自由独立性を用いてモーメントの明示的計算が可能になる。