[論文レビュー] A Semi-Lagrangian scheme for a degenerate second order Mean Field Game system

Elisabetta Carlini, Francisco J. Silva|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 60

ひとこと要約

本稿では、退化する2階MFG（平均場ゲーム）系を解くための完全離散的セミラグランジュスキームを提案する。これは、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン方程式に対するセミラグランジュ離散化と、1階Fokker-Planckスキームを2階力学へ拡張する新規手法を組み合わせたものである。主な貢献は、状態次元が1の場合に、離散スキームが連続MFG系の解に収束することの証明であり、退化する拡散と非退化する拡散の状態における明確な挙動の違いを示す数値シミュレーションによって検証されている。

ABSTRACT

In this paper we study a fully discrete Semi-Lagrangian approximation of a second order Mean Field Game system, which can be degenerate. We prove that the resulting scheme is well posed and, if the state dimension is equals to one, we prove a convergence result. Some numerical simulations are provided, evidencing the convergence of the approximation and also the difference between the numerical results for the degenerate and non-degenerate cases.

研究の動機と目的

• 退化する拡散係数を扱えるように一般化された、退化する2階MFG系の完全離散的セミラグランジュスキームの構築。
• ブロワーの不動点定理を用いて、離散スキームの適切な定義（well-posedness）を確立すること。
• 状態次元が1の場合に、離散解が連続MFG系の粘性解に収束することの証明。
• 退化・非退化・決定論的拡散の各状況における解の挙動の数値的比較。

提案手法

• 系におけるハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン方程式に完全離散的セミラグランジュスキームを適用し、時間刻み$\rho$と空間刻み$h$による時間・空間離散化を実施する。
• 値関数近似$v^{\varepsilon}_{\rho,h}[\mu]$の滑らかさと安定性を確保するため、モリファイア$\phi_\varepsilon$による畳み込みで正則化を行う。
• 2階力学のための1階Fokker-Planckスキームの新規拡張を提案し、測度$m^{\varepsilon}_{\rho,h}[\mu]$の整合的な時間発展を保証する。
• 固定点反復法により離散系を解き、解$\mu$が$m^{\varepsilon}_{\rho,h}[\mu] = \mu$を満たすようにする。この際、存在性の保証にブロワーの不動点定理を用いる。
• スキームのマコフ連鎖解釈を用いて、離散測度解の相対的コンパクト性を確立する。
• 値関数の離散的半凸性と密度関数の$L^\infty$バインディングを用い、勾配の a.e. 収束および測度の弱収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 セミラグランジュスキームは、2階の退化する平均場ゲーム系へ効果的に拡張可能か？
• RQ2 提案された完全離散スキームは、拡散係数の退化下でも適切に定義されるか？
• RQ3 1次元空間における離散MFG解は、連続系の解に収束するか？
• RQ4 退化・非退化・決定論的拡散の各状況における数値解の挙動にどのような差異が生じるか？

主な発見

• 提案されたセミラグランジュスキームは適切に定義されており、ブロワーの不動点定理により解の存在が保証される。
• 1次元の場合、離散化パラメータに適切な条件が満たされれば、スキームは連続MFG系の粘性解に収束する。
• 数値的シミュレーションにより、固定点反復の収束が確認され、$\tau = 10^{-3}$の許容誤差を満たすために6〜10回の反復が必要であった。
• 離散化パラメータ$\rho = 6.25 \times 10^{-3}$、$\varepsilon = 0.15$の下で、値関数の誤差は$1.08 \times 10^{-6}$、密度関数の誤差は$1.17 \times 10^{-4}$にまで低下した。
• 退化する場合（$\sigma(t) = \max(0, 0.2 - |t-1|)$）では、拡散が$[0.8, 1.2]$でのみ作用し、一時的な広がりの後、再び集中する挙動を示す。これは定常拡散の場合とは明確に異なる。
• $V_\delta$ペナルティ項は、ピーク密度の集中を顕著に抑制し、欠落した場合に生じる物理的に不自然なクラスタリングを防ぐ。