[論文レビュー] A Semigroup Composition C*-algebra

Katie S. Quertermous|ArXiv.org|Sep 4, 2009

Holomorphic and Operator Theory参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$ 0 < s < 1 $ に対して $ \varphi_s(z) = sz + (1-s) $ と定義される $ H^2(\mathbb{D}) $ 上の合成作用素 $ C_{\varphi_s} $ の半群によって生成される単位的 C*-代数を調査する。重み付き $ L^2 $ 空間上でのトーピツ作用素の族へのユニタリ同値性を用いて、C*-代数の交換子イデアルによる商が $ AP(\mathbb{R}) \oplus \mathbb{C} $ に同型であることを特定し、代数が非可約であることを証明する。

ABSTRACT

For 0 &lt; s &lt; 1, let phi_s(z)=sz+(1-s). We investigate the unital C*-algebra generated by the semigroup {C_{phi_s} : 0 &lt; s &lt; 1} of composition operators acting on the Hardy space of the unit disk. We determine the joint approximate point spectrum of a related collection of operators and show that the quotient of the C*-algebra by its commutator ideal is isomorphic to the direct sum of the complex numbers and the algebra of almost periodic functions on the real line. In addition, we show that the C*-algebra is irreducible.

研究の動機と目的

• 単位的 C*-代数 $ C^*(\{C_{\varphi_s} : 0 < s < 1\}) $ の構造を特定すること。
• 随伴作用素 $ \{C_{\varphi_s}^*\} $ の共通近似点スペクトルを分析すること。これらは、トーピツ作用素の族 $ \{T_{s^{z/(1-z)}}\} $ にユニタリ同値である。
• C*-代数の交換子イデアルによる商を計算し、それが $ AP(\mathbb{R}) \oplus \mathbb{C} $ に同型であることを示すこと。ここで $ AP(\mathbb{R}) $ は $ \mathbb{R} $ 上のほとんど周期的関数の代数である。
• その代数が非可約であることを示すこと、すなわち、その可換子が恒等作用素のスカラー倍のみからなることを証明すること。

提案手法

• ユニタリ同値性を用いて、問題を重み付き $ L^2 $ 空間 $ H^2(\tilde{\mu}) $ に移行する。この空間において、作用素 $ C_{\varphi_s}^* $ はトーピツ作用素 $ \tilde{T}_{s^{z/(1-z)}} $ にユニタリ同値である。
• 有限集合 $ \{\tilde{T}_{s^{z/(1-z)}}\} $ の共通近似点スペクトルを分析し、ほとんど周期的トーピツ作用素の共通近似点スペクトルと関連付ける。
• C*-代数から $ AP(\mathbb{R}) \oplus \mathbb{C} $ への $ \ast $-準同型 $ \psi $ を構成し、$ \psi $ の核が交換子イデアルであることを示し、短完全列を得る。
• 任意の作用素がすべての $ \tilde{T}_{s^{z/(1-z)}} $ と可換ならば、それが恒等作用素のスカラー倍でなければならないことを示すことにより、非可約性を確立する。この際、トーピツ作用素の性質と射影 $ P_{\tilde{\mu}} $ を用いる。
• 主な技術的道具は、変数変換 $ s = e^{-t} $ を用いて得られる積分表現 $ \int_0^1 \langle \tilde{T}_{s^{z/(1-z)}} f, g \rangle \, ds = \langle \tilde{T}_{1-z} f, g \rangle $ である。
• 射影 $ P_{\tilde{\mu}} \overline{f} $ が $ \tilde{\mu} $-almost everywhere で定数であることを示す補題を用い、$ \tilde{T}_z $ と可換な有界記号を持つトーピツ作用素は定数でなければならないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半群 $ \{C_{\varphi_s} : 0 < s < 1\} $ によって生成される $ H^2(\mathbb{D}) $ 上の C*-代数の構造は何か？
• RQ2 随伴作用素 $ \{C_{\varphi_s}^*\} $ の共通近似点スペクトルは何か？ そして、ほとんど周期的関数とどのように関係するか？
• RQ3 C*-代数の交換子イデアルによる商は、既知の関数代数とどのように関係するか？
• RQ4 C*-代数は非可約か、すなわちその可換子が恒等作用素のスカラー倍のみからなるか？

主な発見

• C*-代数 $ C^*(\{C_{\varphi_s} : 0 < s < 1\}) $ の交換子イデアルによる商は、$ AP(\mathbb{R}) \oplus \mathbb{C} $ に同型であり、ここで $ AP(\mathbb{R}) $ は $ \mathbb{R} $ 上のほとんど周期的関数の代数である。
• C*-代数から $ AP(\mathbb{R}) \oplus \mathbb{C} $ への $ \ast $-準同型 $ \psi $ が存在し、短完全列 $ 0 \to \mathcal{C} \to C^*(\{C_{\varphi_s}\}) \xrightarrow{\psi} AP(\mathbb{R}) \oplus \mathbb{C} \to 0 $ が成り立つ。
• C*-代数は非可約である。なぜなら、その可換子は $ H^2(\tilde{\mu}) $ 上の恒等作用素のスカラー倍のみからなるからである。
• 任意の $ \{\tilde{T}_{s^{z/(1-z)}}\} $ の可換子に属する作用素は、$ \tilde{\mu} $ に関して $ P_{\tilde{\mu}} \overline{\rho} $ が a.e. で定数であることから、恒等作用素のスカラー倍でなければならない。
• $ \tilde{T}_{s^{z/(1-z)}} $ は $ C_{\varphi_s}^* $ にユニタリ同値であるため、より取り扱いやすいヒルベルト空間設定でスペクトル構造やイデアル構造の分析が可能になる。
• 積分恒等式 $ \int_0^1 \langle \tilde{T}_{s^{z/(1-z)}} f, g \rangle \, ds = \langle \tilde{T}_{1-z} f, g \rangle $ を用いて、可換子に $ \tilde{T}_{1-z} $ が含まれることを示し、可換な作用素が有界記号を持つことを示唆する。