[論文レビュー] A Separation Between Run-Length SLPs and LZ77

Philip Bille, Travis Gagie+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Algorithms and Data Compression参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、走査長直線プログラム（RLSLPs）とLZ77パーサーの間で、超定数の分離を確立している。無限個の文字列の族を構築することで、最小のRLSLPはLZ77パース長よりも漸近的に Ω(log n / log log n) 倍大きいことが示された。この結果は、RLSLPsがLZ77を常に上回るとは限らず、LZ77圧縮に対して、文法圧縮拡張の根本的な限界を示している。

ABSTRACT

In this paper we give an infinite family of strings for which the length of the Lempel-Ziv'77 parse is a factor $Ω(\log n/\log\log n)$ smaller than the smallest run-length grammar.

研究の動機と目的

• 走査長SLP（RLSLPs）が圧縮サイズの観点でLZ77パーサーを上回れるかどうかを調査すること。
• SLPsに走査長ルールを追加したRLSLPsが、LZ77と同等またはそれを上回る圧縮比を達成できるかどうかを特定すること。
• RLSLPsがLZ77圧縮よりも厳密に強力かどうかという未解決の問題を解明すること。
• RLSLPsとLZ77の間で圧縮効率に明確な分離が生じる、明示的な無限個の文字列族を構築すること。

提案手法

• 平方自由で、既知のLZ77パースサイズが小さいことが分かっているDiff-Thue-Morse系列に基づく無限個の文字列族を構築する。
• Diff-Thue-Morse系列の平方自由性を利用して、その派生文字列について、最小文法サイズと最小RLSLPサイズが等しいことを示す。
• Charikarら（2005年）の既知の構成を活用し、LZ77パースサイズに対して極めて大きな最小文法サイズを持つ文字列を生成する。
• これらの文字列に対する最小RLSLPサイズが Ω(log²k₁ / log log k₁) であることを証明する。ここで k₁ は構成における最大の指数である。
• Thue-Morse系列およびその差分系列に対するLZ77の既知の境界を用いて、同じ文字列のLZ77パースサイズが O(log k₁) であることを確立する。
• k₁ を総文字列長 n に関連づけることで、漸近的比 g*rl / z_no = Ω(log n / log log n) を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 走査長SLP（RLSLPs）は、LZ77パーサーと比べて漸近的に優れた圧縮比を達成できるか？
• RQ2 最小RLSLPがLZ77パースサイズよりも顕著に大きい無限個の文字列族が存在するか？
• RQ3 SLPsに走査長ルールを追加することで、文法圧縮とLZ77圧縮の間のギャップが埋まるか？
• RQ4 RLSLPsは、パースサイズの観点でLZ77圧縮を常に上回ることができるか？

主な発見

• 最小RLSLPサイズが Ω(log²k₁ / log log k₁) であるような無限個の文字列族が存在する。ここで k₁ は文字列構成における最大の指数である。
• 同じ文字列のLZ77パースサイズは、Thue-Morse系列およびその差分系列に対する既知の境界に基づき O(log k₁) である。
• 最小RLSLPサイズとLZ77パースサイズの比は Ω(log n / log log n) である。ここで n は総文字列長である。
• この比は、LZ77圧縮が重複なしで動作する場合、RLSLP圧縮よりも厳密に優れていることを示しており、RLSLPsがLZ77を常に上回ることの不可能性を否定する。
• この結果は、走査長ルールを備えても、RLSLPsがLZ77圧縮の全能力を捉えることはできないことを示唆している。