[論文レビュー] A separation in modulus property of the zeros of a partial theta function

Vladimir Petrov Kostov|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2017

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ひとこと要約

本稿は、$|q| \leq 1 - 1/(α_0 n)$ かつ $n \geq 5$ の範囲で、部分theta関数 $\theta(q,z) = \sum_{j=0}^{\infty} q^{j(j+1)/2} z^j$ の零点に対してモジュラス分離性を確立する。$k \geq n$ のとき、$|q|^{-k+1/2} < |\xi_k| < |q|^{-k-1/2}$ を満たす一意的な単一零点 $\xi_k$ が存在することを証明する。一方、残りの $n-1$ 個の零点のモジュラスは $|q|^{-n+1/2}$ 以下である。さらに、$\theta$ が重複零点をもつ特定のスペクトル値 $q$ を同定する。

ABSTRACT

We consider the partial theta function $\ heta (q,z):=\\sum _{j=0}^{\\infty}q^{j(j+1)/2}z^j$, where $z\\in \\mathbb{C}$ is a variable and $q\\in \\mathbb{C}$, $0&lt;|q|&lt;1$, is a parameter. Set $\\alpha _0~:=~\\sqrt{3}/2\\pi ~=~0.2756644477\\ldots$. We show that, for $n\\geq 5$, for $|q|\\leq 1-1/(\\alpha _0n)$ and for $k\\geq n$ there exists a unique zero $\\xi _k$ of $\ heta (q,.)$ satisfying the inequalities $|q|^{-k+1/2}&lt;|\\xi _k|&lt;|q|^{-k-1/2}$; all these zeros are simple ones. The moduli of the remaining $n-1$ zeros are $\\leq |q|^{-n+1/2}$. A {\\em spectral value} of $q$ is a value for which $\ heta (q,.)$ has a multiple zero. We prove the existence of the spectral values $0.4353184958\\ldots \\pm i\\, 0.1230440086\\ldots$ for which $\ heta$ has double zeros $-5.963\\ldots \\pm i\\, 6.104\\ldots$.

研究の動機と目的

• 広範な $q$-値に対して部分theta関数 $\theta(q,z)$ の零点におけるモジュラス分離性を確立すること。
• $k \geq n$ および $n \geq 5$ の条件下で、$k$ 番目の零点 $\xi_k$ の位置を $|q|^{-k \pm 1/2}$ に対するモジュラスの観点から特徴づけること。
• $\theta(q, \cdot)$ が重複（特に二重）零点をもつような $q$ のスペクトル値の存在を証明すること。
• スペクトル値およびそれに対応する二重零点の明示的数値推定値を提供すること。

提案手法

• Rouchéの定理を用いて、$k \geq n$ のとき、$|q|^{-k+1/2} < |z| < |q|^{-k-1/2}$ の円形領域内に一意的かつ孤立した零点 $\xi_k$ の存在を証明する。
• 三角不等式および幾何級数の推定値を用いて、$\theta(q,z)$ の項のモジュラスの和を抑え、$|z| = |q|^{-k-1/2}$ 上で $k$ 番目の項が支配的であることを保証する。
• 特に $|q|$ が臨界閾値に近い場合に、重要な推定値における厳密な不等式を確認するため、記号計算（例：MAPLE）による数値的検証を実施する。
• コンパクト集合 $U \times V$ 上での $\theta(q,z)$ の部分和の実部および虚部を分析し、ずれを抑え、Rouchéの定理を適用する。
• $\tau(|q|) = 2\sum_{\nu=1}^{\infty} |q|^{\nu^2/2} < 1$ の不等式を用いて、級数における先頭項の支配性を保証し、$|q| \leq c_0 \approx 0.207875$ においてモジュラス分離性を拡張する。
• $\theta^*$ および $\theta^{0}$ の実部および虚部の境界を、係数の増加およびモジュラス推定値を用いて導出し、誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $|q| \leq 1 - 1/(\alpha_0 n)$ かつ $n \geq 5$ のとき、部分theta関数 $\theta(q, \cdot)$ は、$|q|^{-k+1/2} < |\xi_k| < |q|^{-k-1/2}$ を満たす一意的な単一零点 $\xi_k$ をもつか。
• RQ2 同じ条件下で、$\theta(q, \cdot)$ の残りの $n-1$ 個の零点の最大モジュラスは何か。
• RQ3 $\theta(q, \cdot)$ が多重零点（特に二重零点）をもつような $q$ の値（スペクトル値）は存在するか。もし存在するならば、その位置と重複度は何か。
• RQ4 分析的および数値的手法を用いて、このようなスペクトル値の存在を厳密に検証する方法は何か。
• RQ5 $|q| \to 0$ または $|q| \to 1$ のとき、$\theta(q, \cdot)$ の零点の漸近的挙動はいかなるものか。

主な発見

• $n \geq 5$, $|q| \leq 1 - 1/(\alpha_0 n)$ かつ $\alpha_0 = \sqrt{3}/(2\pi) \approx 0.275664$ のとき、$k \geq n$ であれば、$\theta(q, \cdot)$ には $|q|^{-k+1/2} < |\xi_k| < |q|^{-k-1/2}$ を満たす一意的な単一零点 $\xi_k$ が存在する。
• $\theta(q, \cdot)$ の残りの $n-1$ 個の零点のモジュラスは、$|q|^{-n+1/2}$ 以下で抑えられる。
• 特に $q \approx 0.435318 \pm i\,0.123044$ のようなスペクトル値 $q$ が存在し、このとき $\theta(q, \cdot)$ は $\xi \approx -5.963 \pm i\,6.104$ に二重零点をもつ。
• モジュラス分離性は、$|q| \leq c_0 \approx 0.207875$ の領域内で $q$ についての正則関数の解析接続に対して安定であり、$n \geq 5$ のとき $|q| \leq 1 - 1/(\alpha_0 n)$ に拡張される。
• 記号計算による数値的検証により、$\theta^*$ および $\theta^{0}$ の実部および虚部がコンパクト集合上で有界であり、値がゼロでないことを保証する。これにより、Rouchéの定理の適用が可能となる。
• $z = A$ および $z = C$ のとき、$\theta^*$ の最初の5つの単項式の実部の和は $(0.03, 0.08)$ の間にあり、虚部の和は $(0.15, 0.20)$ の間にあり、高次の項からの誤差寄与は $10^{-4}$ 未満である。