[論文レビュー] A sequential least squares method for elliptic equations in non-divergence form

Ruo Li, Fanyi Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元および3次元の領域における非発散型の楕円型方程式を解くための、新たな逐次最小二乗有限要素法を提案する。この手法は、解法を2段階に分離する：まず、局所的に渦なし多項式空間において勾配を近似し、次に連続ラグランジュ有限要素空間で主変数を解く。本手法は、$L^2$ノルムおよびエネルギーノルムの両方で最適収束率を達成し、効果的な自己適合型メッシュ・エンリッチメントを可能にする自然な後験的誤差推定子を提供する。数値実験により、2次元および3次元領域における有効性が検証された。

ABSTRACT

We develop a new least squares method for solving the second-order elliptic equations in non-divergence form. Two least-squares-type functionals are proposed for solving the equations in two steps. We first obtain a numerical approximation to the gradient in a piecewisely irrotational polynomial space. Then together with the numerical gradient, we seek a numerical solution of the primitive variable in continuous finite element space. The variational setting naturally provides a posteriori error which could be used in an adaptive refinement algorithm. The error estimates in $L^2$ norm and energy norms for both two unknowns are derived. By a series of numerical experiments, we verify the convergence rates and show the efficiency of the adaptive algorithm.

研究の動機と目的

• 非発散構造のため、標準的な変分形式を有しない2次楕円型PDEの安定的かつ収束性を保証する有限要素法の開発。
• $C^1$-連続有限要素の課題を克服するため、$C^0$有限要素空間を用い、鞍点系を回避する。
• 勾配の近似と主変数の解法を分離する2段階の逐次最小二乗アプローチの導入。
• 最小二乗汎関数から得られる後験的誤差推定子を、低正則性解を有する問題における自己適合型メッシュ・エンリッチメントに活用する。
• 2次元および3次元領域における広範な数値実験を通じて、理論的収束率および自己適合アルゴリズムの有効性を検証する。

提案手法

• 非発散型PDEを1次系に再定式化し、最小二乗原理の適用を可能にする。
• まず、局所的に渦なし多項式空間上で最小二乗汎関数を最小化して勾配 $\boldsymbol{p}$ を近似する。
• 計算された勾配を用いて、連続 $C^0$ 有限要素空間における主変数 $u$ の2番目の最小二乗問題を解く。
• 最小二乗汎関数は、弱形式における残差に基づいて、自己適合型メッシュ・エンリッチメントに適した自然な後験的誤差推定子を提供する。
• 要素境界を越える不連続性を扱うために、非連続ガラーキン型のトレース作用素およびジャンプ項を採用する。
• 後験的誤差推定子を用いた $h$-自己適合型メッシュ・エンリッチメント戦略を実装し、角部特異性などの低正則性領域を強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非発散型楕円型PDEのための逐次最小二乗有限要素法は、$C^1$-連続要素を必要とせずに設計可能であろうか？
• RQ2 勾配近似に局所的渦なし空間を用いることで、$L^2$ノルムおよびエネルギーノルムの両方で最適収束率が達成されるであろうか？
• RQ3 最小二乗汎関数は、低正則性解を有する問題における自己適合型メッシュ・エンリッチメントに有効な後験的誤差推定子として機能するであろうか？
• RQ4 数値実験において、勾配および主変数の収束率は理論的予測と一致するであろうか？
• RQ5 後験的誤差推定子に基づく自己適合型メッシュ・エンリッチメントは、特異解に対して、均一メッシュ・エンリッチメントと比較して著しく効率的であろうか？

主な発見

• 勾配 $\boldsymbol{p}$ に対して、$L^2$ノルムでは $m+1$ 階、エネルギーノルムでは $m$ 階の最適収束率を達成し、主変数 $u$ に対しても $L^2$ノルムでは $m+1$ 階、エネルギーノルムでは $m$ 階の最適収束率を達成し、理論的予測と一致する。
• 2次元および3次元における数値実験により、すべての誤差ノルムの収束次数が確認され、理論的推定と完全に一致する結果が得られた。
• 角部特異性（例：$u = |\boldsymbol{x}|^{1.2}$）を有する問題では、均一メッシュ・エンリッチメントにより、エネルギーノルムにおける勾配の収束率が $O(h^{0.2})$ に低下し、$L^2$ノルムでは $O(h^1)$ となるなど、正則性の低下に起因する部分的収束率の劣化が生じる。
• 後験的誤差推定子を用いた自己適合型メッシュ・エンリッチメントにより、すべての誤差ノルムで最適収束率が達成され、均一メッシュ・エンリッチメントに比べて著しく高い効率性を示した。
• 自己適合型メッシュ生成戦略は、角部などの特異領域に集中してメッシュを細分化することに成功しており、6ステップ後のメッシュ細分化パターンから明確に確認できる。
• 本手法は鞍点系を解く必要がなく、各ステップで1次演算子のみを含むため、混合または混合ハイブリッド型の定式化と比較して実装が簡素化される。