[論文レビュー] A sequential sampling strategy for extreme event statistics in nonlinear dynamical systems

Mustafa A. Mohamad, Themistoklis P. Sapsis|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 30被引用数 110

ひとこと要約

本稿では、非線形力学系における極端事象の統計推定を、最小限のシミュレーションで著しく向上させるために、ガウス過程回帰を用いて情報量が多いパrameter点を段階的に選択する戦略を提案する。この手法は、確率密度関数（pdf）の裾の不確実性を低減するために対数変換に基づく指標を用いる。これにより、オффショアプラットフォームなど数百万自由度を持つ高次元系においても、10–20サンプルで正確なpdf近似が可能となる。

ABSTRACT

We develop a method for the evaluation of extreme event statistics associated with nonlinear dynamical systems, using a small number of samples. From an initial dataset of design points, we formulate a sequential strategy that provides the 'next-best' data point (set of parameters) that when evaluated results in improved estimates of the probability density function (pdf) for a scalar quantity of interest. The approach utilizes Gaussian process regression to perform Bayesian inference on the parameter-to-observation map describing the quantity of interest. We then approximate the desired pdf along with uncertainty bounds utilizing the posterior distribution of the inferred map. The 'next-best' design point is sequentially determined through an optimization procedure that selects the point in parameter space that maximally reduces uncertainty between the estimated bounds of the pdf prediction. Since the optimization process utilizes only information from the inferred map it has minimal computational cost. Moreover, the special form of the metric emphasizes the tails of the pdf. The method is practical for systems where the dimensionality of the parameter space is of moderate size, i.e. order O(10). We apply the method to estimate the extreme event statistics for a very high-dimensional system with millions of degrees of freedom: an offshore platform subjected to three-dimensional irregular waves. It is demonstrated that the developed approach can accurately determine the extreme event statistics using limited number of samples.

研究の動機と目的

• 直接シミュレーションが不可能なほど事象確率が低い高次元非線形力学系において、極端事象の統計を推定する課題に対処すること。
• 全確率密度関数（pdf）の不確実性、特に裾の部分を最小限に抑える「次に最良の」パrameterサンプルを選択する計算効率の良い手法を開発すること。
• 高価なシミュレーションや実験をわずかに使用するだけで、極端事象の統計を正確に推定できるようにすること。
• 極端事象に寄与する可能性の高いパrameter空間の領域に集中してサンプリングを行うこと。pdfの対数変換を用いることで、希少事象に対する感度を向上させる。
• 不規則波の作用を受けるオフショアプラットフォームのような高精度・高次元系（数百万自由度）に、本手法の有効性を実証すること。

提案手法

• 初期データセットとしてサンプリングされた点群から、パrameterから観測値への写像をガウス過程回帰（GPR）で推定する。
• 推定されたpdfの境界における不確実性を最大限に低減する次回の設計点を選択する段階的最適化手順を定式化する。
• 不確実性低減基準は、pdfの上界と下界の間の距離指標に基づく。対数変換により、尾部領域が強調される。
• 最適化はGPRモデルの事後分布にのみ依存し、選択段階で追加のシミュレーションを必要としないため、計算コストを最小限に抑える。
• 中程度のパrameter空間次元（O(10)）を想定し、複雑な高次元ダイナミクスの効率的探索を可能にする。
• 力やモーメントなど正値をとる観測値に対しては、GPRを観測値の対数に適用することで、モデルの安定性と精度を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 限られたシミュレーション予算のもとで、非線形力学系における確率密度関数（pdf）の全容、特に極端な尾部を効率的に推定する方法は何か？
• RQ2 極端な希少事象に注目する場合、pdf推定における不確実性を最小限に抑えるサンプリング戦略は何か？
• RQ3 段階的で適応的なサンプリングアプローチは、極端事象統計の収束速度と精度において、標準的なラテンハイパーボリューム（Latin Hypercube）サンプリングを上回ることができるか？
• RQ4 pdfの対数変換が、選択基準における尾部挙動への感度をどのように向上させるか？
• RQ5 本手法は、オフショア構造物が不規則波の作用を受けるような、数百万自由度を持つ高次元系へどの程度適用可能か？

主な発見

• 提案された段階的サンプリング戦略は、初期の4点のラテンハイパーボリューム設計に加えて14サンプルを追加するのみで、力のpdfについて「正確な」pdfと良好な一致を示した。
• L1誤差の観点から、対数pdfにおいてラテンハイパーボリュームサンプリングをほぼ1桁の性能向上で上回った。
• 標準的手法では少数のサンプルではしばしば解明できない非ガウス型の尾部分布の形状を、アルゴリズムが正しく捉えた。
• 異なる初期データセットサイズやコアイテレーションパラメータに対して、漸近的収束性と安定した性能を示した。
• サンプリング戦略は、大きな力と非無視可能な確率を示す点を選択しており、極端事象に関連するパrameter空間の領域に焦点を当てていることを確認した。
• 本手法は、数百万自由度を持つ実世界の高精度システムに適用され、エンジニアリングスケールの問題への実用性を裏付けた。