[論文レビュー] A Set of Characteristic Functions on the Space of Signatures

Ilya Chevyrev|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 4被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、幾何的粗い経路の署名上の確率測度のための特徴関数を導入し、確率変数が期待署名によって一意に決定される条件を確立する。弱収束におけるモーメント法を証明し、Lévy、ガウス、マルコフ型粗い経路にその結果を適用する。

ABSTRACT

We define a characteristic function for probability measures on the signatures of geometric rough paths. We determine sufficient conditions under which a random variable is uniquely determined by its expected signature, thus partially solving the analogue of the moment problem. We furthermore study analyticity properties of the characteristic function and prove a method of moments for weak convergence of random variables. We apply our results to signature arising from Levy, Gaussian and Markovian rough paths.

研究の動機と目的

• 幾何的粗い経路の署名空間上の確率測度のための特徴関数を定義すること。
• 確率変数が期待署名によって一意に決定される十分条件を特定すること。これは、粗い経路におけるモーメント問題の類似問題に当たる。
• 粗い経路の署名文脈における特徴関数の解析的性質を研究すること。
• 署名空間に値をとる確率変数の弱収束に対するモーメント法を確立すること。
• Lévy、ガウス、マルコフ型粗い経路といった特定のクラスの粗い経路に理論的枠組みを適用すること。

提案手法

• 署名空間上で、署名の指数関数的関数の期待値を用いて特徴関数を定義する。
• 特徴関数の解析的性質を活用し、署名空間上での確率測度の一意性を導出する。
• 期待署名が元の確率分布を一意に特徴づける条件を確立する。
• 特徴関数の収束が分布収束を意味することを示すことにより、弱収束に対するモーメント法を適用する。
• Lévy、ガウス、マルコフ型粗い経路の既知の正則性およびモーメントの性質を活用し、枠組みの適用可能性を検証する。
• 署名の代数的構造と署名写像の普遍性を用いて、古典的モーメント法の概念を粗い経路設定に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 署名空間上での確率測度が、その期待署名によっていつ一意に決定されるのか。
• RQ2 特徴関数の解析的性質をどのように活用して、粗い経路の署名文脈における一意性および収束結果を証明できるか。
• RQ3 署名空間に値をとる確率変数の弱収束に対して、モーメント法を確立できるか。
• RQ4 理論的結果が、Lévy、ガウス、マルコフ型粗い経路といった特定のクラスの粗い経路にどの程度適用可能か。
• RQ5 特徴関数が良好に定義され、解析的であることを保証する、元の確率過程に必要な十分条件は何か。

主な発見

• 幾何的粗い経路の署名空間上の確率測度のための特徴関数が、成功裏に定義された。
• 確率変数が期待署名によって一意に決定される十分条件が確立され、粗い経路におけるモーメント問題の類似問題が解決された。
• わずかな正則性条件のもとで、特徴関数が解析的であることが示され、複素解析的手法の適用が可能になった。
• 弱収束に対するモーメント法が証明され、特徴関数の収束が分布収束を意味することが示された。
• 理論的枠組みがLévy、ガウス、マルコフ型粗い経路に成功裏に適用され、結果の広範な適用可能性が示された。
• 古典的モーメント問題と粗い経路理論の間の橋渡しをした。確率的ツールが無限次元の署名空間へと拡張された。