[論文レビュー] A set-theoretic analysis of the black hole entropy puzzle

Gábor Etesi|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ブラックホールのエントロピーが物理的幾何学に起因するのではなく、数学的連続体における集合論的不確実性に起因すると提唱する。時空を有限集合でモデル化し、チャイティンの不完全性定理とカルバック・ライブラー発散をリーマン多様体に適用することで、抽象的なホーキングに類似した面積の定理を導出し、ブラックホールエントロピーが算術的連続体の内面的曇り具合に起因することを示唆する。

ABSTRACT

Motivated by the known mathematical and physical problems arising from the current mathematical formalization of the physical spatio-temporal continuum, as a substantial technical clarification of our earlier attempt, the aim in this paper is twofold. Firstly, by interpreting Chaitin's variant of G\"odel's first incompleteness theorem as an inherent uncertainty or fuzziness present in the set of real numbers, a set-theoretic entropy is assigned to it using the Kullback--Leibler relative entropy of a pair of Riemannian manifolds. Then exploiting the non-negativity of this relative entropy an abstract Hawking-like area theorem is derived. Secondly, by analyzing Noether's theorem on symmetries and conserved quantities, we argue that whenever the four dimensional space-time continuum containing a black hole is modeled by the set of real numbers in the mathematical formulation of general relativity, the hidden set-theoretic entropy of this latter structure reveals itself as the entropy of the black hole (proportional to the area of its ``instantaneous'' event horizon), indicating that this apparently physical quantity might have a pure set-theoretic origin, too.

研究の動機と目的

• ブラックホールエントロピーが純粋に物理的要因によるものではなく、集合論的起源を有するかどうかを調査すること。
• 時空のモデル化において算術的連続体の無限で点的な構造がもつ基礎的問題を扱うこと。
• カルバック・ライブラー発散などの情報理論的道具を用いてブラックホールエントロピーを再定式化すること。
• 相対エントロピーの非負性から抽象的なホーキングに類似した面積の定理を示すこと。
• ブラックホールの物理的エントロピーと実数の数学的構造に内在する不確実性を統合すること。

提案手法

• ゲーデルの第一不完全性定理のチャイティンによる再解釈を適用し、実数を本質的に曇りや不確実性を有するものと解釈すること。
• 2つのリーマン多様体間のカルバック・ライブラー発散を用いて集合論的エントロピーを定義すること。
• コンパクトな境界付き多様体上でのカルバック・ライブラー発散の非負性を活用し、抽象的な面積の定理を導出すること。
• ネーターの定理を用いて、定常ブラックホール時空における微分同相変換下での保存量を同定すること。
• グローバルにハイパーボリックな時空を「過去」「現在」「未来」の確率構造に分解することで、時系列的時空フレームワークを構築すること。
• モーザーの定理を適用し、未来の確率空間が現在のリーマン幾何学によって一意に決定されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックホールエントロピーは、実数の数学的構造における本質的不確実性に起因する可能性があるか？
• RQ2 2つのリーマン多様体間のカルバック・ライブラー発散は、ホーキングの面積定理の幾何的類似物を生じるか？
• RQ3 ブラックホールのエントロピーは、算術的連続体に由来する集合論的エントロピーと物理的に同等か？
• RQ4 プランクスケールにおける時空の基数の有限性は、量子不確実性と情報理論的エントロピーとどのように関係するか？
• RQ5 ブラックホールの物理的エントロピーは、下位の数学的構造の微分同相不変性の結果として解釈可能か？

主な発見

• 2つのリーマン多様体間のカルバック・ライブラー発散は非負であり、これにより抽象的なホーキングに類似した面積の定理を導出可能である。
• プランクスケールにおける時空基数の相対的揺らぎは1に達し、量子不確実性下では明確な基数は意味を持たないことを示唆する。
• チャイティンの不完全性から導かれる算術的連続体の集合論的エントロピーは、ブラックホールの物理的エントロピーと一致する。
• 定常時空における微分同相変換下でネーターの定理から得られる保存量は、事象の地平面の面積に比例し、ブラックホールエントロピーと一致する。
• 時系列的時空フレームワークにおける未来の確率空間は、モーザーの定理により現在のリーマン幾何学によって一意に決定される。
• 本フレームワークは、コンパクトなカウチー超曲面を用いて一般相対性理論における共変的かつ微分同相不変な時系列的構造を確立する。