[論文レビュー] A shallow physics-informed neural network for solving partial differential equations on surfaces

Wei-Fan Hu, Yi-Jun Shih+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、レベルセット関数を用いて直交座標系で表面微分作用素を直接表現することにより、静的および変化する表面における偏微分方程式（PDE）を解くための浅い物理情報付きニューラルネットワーク（PINN）を提案する。この手法は法線拡張制約を回避し、わずかなニューロン数で高い精度を達成し、剪断流れ下の変形するドロイド上での界面活性剤輸送を1%未満の誤差で効果的にシミュレートする。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a shallow (one-hidden-layer) physics-informed neural network for solving partial differential equations on static and evolving surfaces. For the static surface case, with the aid of level set function, the surface normal and mean curvature used in the surface differential expressions can be computed easily. So instead of imposing the normal extension constraints used in literature, we write the surface differential operators in the form of traditional Cartesian differential operators and use them in the loss function directly. We perform a series of performance study for the present methodology by solving Laplace-Beltrami equation and surface diffusion equation on complex static surfaces. With just a moderate number of neurons used in the hidden layer, we are able to attain satisfactory prediction results. Then we extend the present methodology to solve the advection-diffusion equation on an evolving surface with given velocity. To track the surface, we additionally introduce a prescribed hidden layer to enforce the topological structure of the surface and use the network to learn the homeomorphism between the surface and the prescribed topology. The proposed network structure is designed to track the surface and solve the equation simultaneously. Again, the numerical results show comparable accuracy as the static cases. As an application, we simulate the surfactant transport on the droplet surface under shear flow and obtain some physically plausible results.

研究の動機と目的

• メッシュフリーで浅いニューラルネットワークフレームワークを構築し、表面の法線拡張制約に依存しない、曲面におけるPDEの解法を実現すること。
• 従来のPINN手法が表面でゼロ法線微分を強制するのに対し、より高い精度と効率を実現すること。
• 表面の微分同相写像を学習するための所定の隠れ層を導入することで、変化する表面への手法の拡張を図ること。
• 広義の幾何形状、特に移動する表面PDE（例：対流拡散方程式）における手法の有効性を示すこと。
• 実世界の応用、例えば剪断流れ下のドロイド上での界面活性剤輸送への妥当性を検証すること。

提案手法

• 表面微分作用素（勾配、発散、ラプラシアン＝ベルトラミ）は、標準的な直交座標微分とレベルセット関数から得られる表面幾何を用いて再定式化される。
• 損失関数は、周囲のユークリッド空間におけるPDEの残差をペナルティ項として扱い、レベルセットから計算された表面の曲率と法線ベクトルを直接組み込む。
• 解の近似に1層の隠れ層を持つニューラルネットワークが用いられ、効率的な学習と実装が可能になる。
• 変化する表面に対しては、現在の表面と基準トポロジー間の微分同相写像を学習するための所定の隠れ層を導入し、表面追跡とPDE解法を同時に実現する。
• 各学習点でレベルセット関数から直接表面法線および平均曲率が計算され、メッシュ生成や三角形分割を回避する。
• 学習された重みとバイアスを有する浅いネットワークを用いることで、径路関数法における一般的な悪条件問題を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 法線拡張制約を課さずに、浅いPINNが表面PDEを正確に解くことができるか？
• RQ2 本手法の直交座標ベースの表面作用素定式化は、従来の埋め込み法やメッシュベース手法と比較してどのように性能を発揮するか？
• RQ3 精度と安定性を維持したまま、この手法を変化する表面へ拡張可能か？
• RQ4 変形するドロイド上での界面活性剤輸送のシミュレーションにおいて、この手法の精度はどの程度か？
• RQ5 隠れ層内のニューロン数の変更が、解の精度および収束性にどのように影響するか？

主な発見

• 複雑な静的表面において、ラプラシアン＝ベルトラミ方程式および表面拡散方程式に対して、わずかなニューロン数で相対$L^2$誤差が$10^{-5}$未満に達する。
• 法線微分制約を課えた従来のPINN手法よりも優れた性能を示し、深層ネットワークを用いても1%を超える誤差を報告していたのに対し、本手法ではその問題を克服した。
• 変化する表面に対しては、ドロイド体積および界面活性剤質量の誤差が時間経過に伴い1%未満で安定を保つ。
• 剪断流れ下のドロイド上での界面活性剤輸送のシミュレーションは物理的に妥当な結果を生み出し、本手法の実世界の流体力学的問題への応用可能性を裏付けた。
• レベルセット関数の使用により、表面微分作用素に不可欠な表面法線および平均曲率の正確な計算が可能になった。
• 浅いネットワークアーキテクチャのおかげで、高速な学習と実装が可能となり、リアルタイムまたは大規模シミュレーションにおいて実用的である。