[論文レビュー] A shape preserving quasi-interpolation operator based on a new transcendental RBF

Mohammad Heidari, Maryam Mohammadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2021

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、双曲正 tangent 関数に基づく新しい超越的径路基底関数（RBF）を用いた、形状を保全する準補間作用素を提案する。$φ(r) = r \tanh(r/c)$。この手法は、古典的な多項式（MQ）RBFに比べ、$O(h^2)$収束を達成し、凸性および単調性を保ち、線形方程式系の解法を必要とせず、数値実験において優れた精度と安定性を示す。

ABSTRACT

It is well-known that the univariate Multiquadric quasi-interpolation operator is constructed based on the piecewise linear interpolation by |x|. In this paper, we first introduce a new transcendental RBF based on the hyperbolic tangent function as a smooth approximant to f(r)=r with higher accuracy and better convergence properties than the multiquadric. Then Wu-Schaback's quasi-interpolation formula is rewritten using the proposed RBF. It preserves convexity and monotonicity. We prove that the proposed scheme converges with a rate of O(h^2). So it has a higher degree of smoothness. Some numerical experiments are given in order to demonstrate the efficiency and accuracy of the method.

研究の動機と目的

• 1次元の散発データに対する高次元で形状を保全する準補間作用素を開発し、線形方程式系の解法を回避する。
• 古典的な多項式（MQ）RBFを、双曲正 tangent 関数に基づく新しい超越的RBFに置き換えることで、精度と収束性を向上させる。
• 入力データの単調性および凸性を保証するため、信頼性の高い関数再構築に不可欠な性質を備える。
• 形状パラメータ$c$に依存しない$O(h^2)$収束率を達成することで、ロバスト性と滑らかさを向上させる。
• 関数近似における古典的な数値的不安定性、例えばルンゲ現象およびギブス現象を軽減する。

提案手法

• 新しいRBFを提案：$\\phi(r) = r \\tanh(r/c)$。これは$|x|$を滑らかに近似し、MQ RBF $\\sqrt{r^2 + c^2}$ よりも優れた収束性を示す。
• Wu–Schabackの準補間公式を、新しいRBFを用いて再定式化し、作用素$\\mathcal{L}_{RTH}$を構築する。
• 新しいRBFおよびその導関数の性質に基づき、構成上単調性および凸性を保証する。
• 形状パラメータ$c$に依存しない理論的境界を証明することで、$O(h^2)$収束率を達成する。
• 線形方程式系の解法を必要とせず、関数値を直接係数として使用することで、計算効率を維持する。
• 滑らかで、不連続で、振動するテスト関数を用いた数値実験により、手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲正 tangent 関数に基づく新しい超越的RBFは、準補間において収束速度と精度の点で、古典的なMQ RBFを上回ることができるか？
• RQ2 提案された準補間作用素は、入力データの単調性および凸性を保つことができるか？
• RQ3 新しいRBFに基づく作用素は、関数近似におけるルンゲ現象およびギブス現象を軽減できるか？
• RQ4 提案された作用素の収束速度は何か？また、形状パラメータ$c$およびステップサイズ$h$にどのように依存するか？
• RQ5 新しい作用素は、散発データセットにおいて、標準的なMQ準補間よりもロバストで正確であるか？

主な発見

• 提案されたRBF $\\phi(r) = r \tanh(r/c)$ は、特に$c$が小さい場合に、MQ RBFよりも高い精度と優れた収束性を示す。
• 準補間作用素$\\mathcal{L}_{RTH}$ は、$O(h^2)$収束率を達成しており、数値的に確認された収束率は、異なるテスト問題でそれぞれ2.0943および3.4210に達している。
• 数値実験では、$h = 0.0125$および$c = 0.01$の条件下で、滑らかな関数に対して$L^\\infty$誤差が最大で$7.5 \times 10^{-14}$まで低下している。
• ルンゲ関数に対して、ルンゲ現象が著しく軽減されており、$h$を小さくするにつれて相対誤差が顕著に減少している。
• 不連続関数に対しては、ギブス現象が顕著に抑制されており、$c$を$0.001$に小さくするにつれて振動が減少している。
• すべてのテスト問題、特に区分的解析的および不連続関数を含むものにおいて、標準的なMQ準補間よりも精度と安定性に優れた性能を示している。