[論文レビュー] A Sharp Bound for the Ratio of the First Two Dirichlet Eigenvalues of a Domain in a Hemisphere of S^n

Mark S. Ashbaugh, Rafael D. Benguria|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2000

Analytic and geometric function theory被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、n次元球面 $\mathbb{S}^n$ の半球内の領域の第一および第二のディリクレ固有値の比に対して鋭い上界を確立し、対称再配分と特殊関数解析を用いて、その比が測地的球面で最大値をとることを証明する。主な結果として、ペイン＝ポリア＝ワインバーガー予想を球面幾何に拡張し、$\lambda_2(\Omega) \leq \lambda_2(B_{\lambda_1})$ が成り立つことが示され、ここで $B_{\lambda_1}$ は $\lambda_1$ と同一の第一固有値を持つ測地的球面を表す。

ABSTRACT

For a domain $Ω$ contained in a hemisphere of the $n$-dimensional sphere $\SS^n$ we prove the optimal result $λ_2/λ_1(Ω) \le λ_2/λ_1(Ω^{\star})$ for the ratio of its first two Dirichlet eigenvalues where $Ω^{\star}$, the symmetric rearrangement of $Ω$ in $\SS^n$, is a geodesic ball in $\SS^n$ having the same $n$-volume as $Ω$. We also show that $λ_2/λ_1$ for geodesic balls of geodesic radius $θ_1$ less than or equal to $π/2$ is an increasing function of $θ_1$ which runs between the value $(j_{n/2,1}/j_{n/2-1,1})^2$ for $θ_1=0$ (this is the Euclidean value) and $2(n+1)/n$ for $θ_1=π/2$. Here $j_{ν,k}$ denotes the $k^{th}$ positive zero of the Bessel function $J_ν(t)$. This result generalizes the Payne-Pólya-Weinberger conjecture, which applies to bounded domains in Euclidean space and which we had proved earlier. Our method makes use of symmetric rearrangement of functions and various technical properties of special functions. We also prove that among all domains contained in a hemisphere of $\SS^n$ and having a fixed value of $λ_1$ the one with the maximal value of $λ_2$ is the geodesic ball of the appropriate radius. This is a stronger, but slightly less accessible, isoperimetric result than that for $λ_2/λ_1$. Various other results for $λ_1$ and $λ_2$ of geodesic balls in $\SS^n$ are proved in the course of our work.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間におけるペイン＝ポリア＝ワインバーガー予想の固有値比に関する結果を、$n$ 次元球面 $\mathbb{S}^n$ の半球内の領域へ拡張すること。
• 固定された $\lambda_1$ を持つ半球内のすべての領域の中で、測地的球面が $\lambda_2$ を最大にすることを証明し、ファーベル＝クラーン不等式の球面版を確立すること。
• 特に測地的半径 $\theta_1$ の関数として、$\lambda_2/\lambda_1$ の単調性および漸近的挙動を、$\mathbb{S}^n$ 内の測地的球面に対して分析すること。
• 対称再配分およびベッセル関数の性質を用いて、固有値に関する等周不等式を球面設定に一般化し、鋭い評価を証明すること。

提案手法

• $\mathbb{S}^n$ 上の関数の対称再配分を用い、領域 $\Omega$ を体積が等しい測地的球面 $\Omega^\star$ に写像することで、固有値の性質を保つ。
• 測地的球面の第一固有関数から導かれる関数 $g(\theta)$ および $B(\theta)$ の単調性を用いて、主要な不等式を確立する。
• $\mathbb{S}^n$ 上のラプラシアンの固有値スケーリングおよび領域単調性を用い、測地的球面の $\lambda_1$ が半径とともに厳密に減少することを示す。
• $\theta_1$ が $0$ から $\pi/2$ に変化する際の測地的球面における $\lambda_2/\lambda_1$ の挙動を分析し、初期値 $(j_{n/2,1}/j_{n/2-1,1})^2$ から $2(n+1)/n$ に単調に増加することを示す。
• 再配分と単調性を用いて、不等式鎖 $\int_{\Omega} B(\theta)u_1^2 d\sigma \leq \int_{B_{\lambda_1}} B(\theta)v_1^2 d\sigma$ および $\int_{\Omega} g(\theta)^2 u_1^2 d\sigma \geq \int_{B_{\lambda_1}} g(\theta)^2 v_1^2 d\sigma$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半球内の領域について、$\mathbb{S}^n$ の第一および第二のディリクレ固有値の比 $\lambda_2/\lambda_1$ の鋭い上界は何か？
• RQ2 測地的半径 $\theta_1$ の関数として、$\mathbb{S}^n$ 内の測地的球面における比 $\lambda_2/\lambda_1$ はどのように振る舞うか？
• RQ3 固定された $\lambda_1$ を持つ半球内のすべての領域の中で、測地的球面が $\lambda_2$ を最大にするか？
• RQ4 対称再配分および特殊関数論を用いて、ペイン＝ポリア＝ワインバーガー予想を球面設定に一般化できるか？
• RQ5 領域 $\Omega$ が $|\Omega| > \frac{1}{2}|\mathbb{S}^n|$ を満たす場合に、不等式 $\lambda_2(\Omega) \leq \lambda_2(B_{\lambda_1})$ が成り立つための幾何的条件は何か？

主な発見

• 半球内の任意の領域 $\Omega$ について、体積が等しい測地的球面 $\Omega^\star$ の比によって上から抑えられ、$\lambda_2(\Omega)/\lambda_1(\Omega) \leq \lambda_2(\Omega^\star)/\lambda_1(\Omega^\star)$ が成り立つ。
• $\mathbb{S}^n$ 内の測地的球面における $\lambda_2/\lambda_1$ は、測地的半径 $\theta_1$ とともに単調に増加し、$\theta_1 = 0$ では $(j_{n/2,1}/j_{n/2-1,1})^2$ から始まり、$\theta_1 = \pi/2$ では $2(n+1)/n$ に達する。
• 固定された $\lambda_1$ を持つ半球内のすべての領域の中で、その $\lambda_1$ を持つ測地的球面が $\lambda_2$ を最大にする。すなわち、$\lambda_2(\Omega) \leq \lambda_2(B_{\lambda_1})$ が成り立つ。
• $\lambda_2(\Omega) \leq \lambda_2(B_{\lambda_1})$ の評価は、半球内の領域に限らず、$k \in [\cos\theta_1(B_{\lambda_1}), 1]$ の「余剰が不足以上である性質」を満たす領域に対しても成り立ち、$|\Omega| > \frac{1}{2}|\mathbb{S}^n|$ の場合でも成立する。
• $\mathbb{S}^n$ 内の測地的球面の固有値 $\lambda_1$ および $\lambda_2$ は、測地的半径 $\theta_1$ に関して厳密に単調である。$\theta_1$ が増加するにつれ、$\lambda_1$ は減少し、$\lambda_2$ は増加する。
• $\lambda_2(\Omega) \leq \lambda_2(B_{\lambda_1})$ における等号成立は、$\Omega$ が測地的球面である場合に限り成り立ち、この固有値最大化問題における球面の極値性が確認される。