[論文レビュー] A sharp correlation inequality with an application to almost sure local limit theorem

Michel Weber|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2010

Probability and Risk Models参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、独立同一分布の2次可積分な格子分布確率変数の和に対して、最小限のモーメント仮定（第二モーメントのみ）の下で、ほぼ確実な局所中心極限定理の証明を可能にする鋭い相関不等式を確立する。主な革新は、絶対的3次モーメントが有限でない場合に従来の手法が破綻するのを回避するため、マクドナルドのベルヌーイ部の概念を用いることにある。これは、従来の結果が $\mathbb{E}|X|^{2+\varepsilon} < \infty$ を仮定していたのを、$\varepsilon = 0$ の場合にまで拡張するものである。結果は、連続する格子点が正の確率を持つという自然な条件下で成り立つ。

ABSTRACT

We prove a new sharp correlation inequality for sums of i.i.d. square integrable lattice distributed random variables. We also apply it to establish an almost sure local limit theorem for iid square integrable random variables taking values in an arbitrary lattice. This extends a recent similar result jointly obtained with Antonini-Giuliano, under a slightly stronger absolute moment assumption (of order $2+u$ with $u&gt;0$). The approach used to treat the case $u&gt;0$ breaks down when $u=0$. MacDonald's concept of the Bernoulli part of a random variable is used in a crucial way to remedy this.

研究の動機と目的

• 独立同一分布の2次可積分な格子分布確率変数の和に対して、最小限のモーメント仮定の下で鋭い相関不等式を確立すること。
• 第二モーメントしか存在しない場合にまで、ほぼ確実な局所中心極限定理を拡張し、$\mathbb{E}|X|^{2+\varepsilon} < \infty$ が成り立たない場合に従来の手法が失敗することを克服すること。
• 高階モーメント仮定に依存する従来の手法の技術的破綻を回避するため、マクドナルドの確率変数のベルヌーイ部の概念を導入すること。
• 第二モーメントしか存在しない場合に、独立同一分布の2次可積分な格子値確率変数に対して、ほぼ確実な局所中心極限定理が成り立つことを証明すること。
• 連続する格子点が正の確率を持つという自然な局所正則性条件の下で、すべての $1 \leq m < n$ に対して、独立性からの確率のずれの定量的評価を与えること。

提案手法

• 独立同一分布の格子分布確率変数の部分和の間の依存構造を分析することで、$\mathbb{P}\{S_n = \kappa_n, S_m = \kappa_m\}$ の鋭い相関不等式を導出する。
• マクドナルドの確率変数のベルヌーイ部の概念を用いて分布を分解し、高階モーメントが利用できない場合の重要な依存構造を特定する。
• 条件 $\mathbb{P}\{X=k\} \wedge \mathbb{P}\{X=k+1\} > 0$ の下で、$S_n = \kappa_n$ と $S_m = \kappa_m$ の間の相関に新しい境界を確立し、$m \leq cn$ に対して $C_c \sqrt{m/n}$ のスケーリングを示す（$0 < c < 1$）。
• 相関不等式を応用して、Cesàro平均の正規化された指示関数がほとんど確実に正規密度に収束することを示すことにより、ほぼ確実な局所中心極限定理を証明する。
• 剰余項付きの局所中心極限定理（定理1.4）を活用し、剰余項が $\mathcal{O}(n^{-\alpha})$（$\alpha > 0$）でない場合でも、個々の確率の漸近的挙動を制御する。
• 連続する格子点が正の確率を持つ最小の時刻 $n_{\kappa}$ を用いた部分列の議論により、問題を定常増分構造に還元し、重み付き和の弱大数法則を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二モーメントしか存在しない場合に、独立同一分布の2次可積分な格子分布確率変数の和に対して、$\mathbb{E}|X|^{2+\varepsilon} < \infty$ を仮定しない鋭い相関不等式を確立できるか。
• RQ2 $\varepsilon = 0$ の場合に従来の手法が失敗するが、第二モーメントのみの仮定の下で、ほぼ確実な局所中心極限定理をどのように拡張できるか。
• RQ3 高階モーメント仮定を放棄した場合に、マクドナルドのベルヌーイ部の概念が分析を可能にする役割は何か。
• RQ4 ある $k$ に対して $\mathbb{P}\{X=k\} \wedge \mathbb{P}\{X=k+1\} > 0$ である条件が、相関不等式が成り立つために必要かつ十分であるか。
• RQ5 格子の構造と確率の漸近的挙動を活用した部分列の議論により、ほぼ確実な局所中心極限定理を証明できるか。

主な発見

• 鋭い相関不等式が確立された：$1 \leq m < n$ に対して、$S_n = \kappa_n$ と $S_m = \kappa_m$ の間の相関は、$C \left( \frac{1}{\sqrt{n/m - 1}} + \frac{n^{1/2}}{(n-m)^{3/2}} \right)$ で抑えられ、$C$ は列 $\kappa_n$ に依存する。
• $m \leq cn$（$0 < c < 1$）の場合、相関境界は $C_c \sqrt{m/n}$ に簡略化され、スケーリングの意味で最適である。
• ほぼ確実な局所中心極限定理が成り立つ：$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{\log N} \sum_{n \leq (N+1)n_{\kappa}} \frac{1}{\sqrt{n}} \mathbf{1}_{\{S_n = \kappa_n\}} = \frac{D}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\kappa^2 / (2\sigma^2)}$ ほとんど確実に成り立つ。
• 従来の結果が $\mathbb{E}|X|^{2+\varepsilon} < \infty$ を仮定していたのを、ベルヌーイ部を用いて高階モーメントの制御を回避することで、第二モーメントのみの最小仮定にまで拡張した。
• $\mathbb{P}\{X=k\} \wedge \mathbb{P}\{X=k+1\} > 0$ である条件が、確率の漸近的挙動が局所中心極限定理の適用を許容するという点で自然かつ十分であることが示された。
• 部分列解析とベルヌーイ部の使用に基づく証明技法は、$\varepsilon = 0$ の場合に剰余項アプローチが失敗するのを効果的に克服し、弱いモーメント条件の下でほぼ確実な結果を得るための頑健な枠組みを提供した。