[論文レビュー] A Sharp Double Inequality for the Inverse Tangent Function

Gholamreza Alirezaei|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、πから導かれた最適化された定数を用いて、形式 $\frac{x}{c_1 + \sqrt{c_2 + c_3 x^2}}$ の有理関数を用いて逆正 tangent 関数を鋭い二重不等式でタイトに評価する手法を提示する。提案された境界は、下限で約 0.27%、上限で約 0.23% の最大相対誤差を達成し、シャーファーの不等式を著しく改善しており、解析的誤差解析と単調性の議論を通じて、境界が最適であることが証明されている。

ABSTRACT

The inverse tangent function can be bounded by different inequalities, for example by Shafer's inequality. In this publication, we propose a new sharp double inequality, consisting of a lower and an upper bound, for the inverse tangent function. In particular, we sharpen Shafer's inequality and calculate the best corresponding constants. The maximum relative errors of the obtained bounds are approximately smaller than 0.27% and 0.23% for the lower and upper bound, respectively. Furthermore, we determine an upper bound on the relative errors of the proposed bounds in order to describe their tightness analytically. Moreover, some important properties of the obtained bounds are discussed in order to describe their behavior and achieved accuracy.

研究の動機と目的

• 逆正 tangent 関数のシャーファーの不等式を改善するために、解析的に最適な定数を有するよりタイトな二重不等式を導出すること。
• すべての実数 $x$ に対して $\arctan(x)$ をタイトに囲む形式 $\frac{x}{c_1 + \sqrt{c_2 + c_3 x^2}}$ の有理近似を構築すること。
• 提案された下限および上限の相対誤差の上限を解析的に特定し、そのタイトさを定量化すること。
• 係数三重組のいずれの成分も不等式を破壊せずに改善できないこと、すなわち導出された定数が鋭いことを証明すること。

提案手法

• 著者らは、$\pi^2$ から導かれた係数を有する二つの有理関数 $f(x)$ および $h(x)$ を定義する。下限には $c_1 = \frac{4}{\pi^2}$, $c_2 = \left(1 - \frac{4}{\pi^2}\right)^2$, $c_3 = \frac{4}{\pi^2}$ を、上限には $c_1 = 1 - \frac{6}{\pi^2}$, $c_2 = \left(\frac{6}{\pi^2}\right)^2$, $c_3 = \frac{4}{\pi^2}$ を使用する。
• 差分関数 $\Delta_f(x) = \arctan(x) - f(x)$ および $\Delta_h(x) = h(x) - \arctan(x)$ の対称性と単調性の解析を用いて、すべての $x \in \mathbb{R}$ に対して $|f(x)| \leq |\arctan(x)| \leq |h(x)|$ が成り立つことを証明する。
• 証明は、各差分関数が $x > 0$ に対して正確に一つの臨界点を持ち、両端でゼロに等しく、非負であることを示すことに依拠する。これにより不等式が成立することが示される。
• 相対誤差関数 $r_f(x) = \frac{\arctan(x) - f(x)}{\arctan(x)}$ および $r_h(x) = \frac{h(x) - \arctan(x)}{\arctan(x)}$ を分析し、最大相対誤差の上限を導出する。
• 二つの境界の相対誤差を比較するための集合 $\mathds{I}_f$ および $\mathds{I}_h$ を定義し、二つの誤差の最大値を抑える不等式を導出する。
• 解析的誤差上限を導出する際、恒等式 $\max(r_f, r_h) \leq \frac{h(x) - f(x)}{f(x)}$ および $\min(r_f, r_h) \leq \frac{h(x) - f(x)}{h(x) + f(x)} \leq \max(r_f, r_h)$ を用い、タイトさを定量化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての実数 $x$ に対して、形式 $\frac{x}{c_1 + \sqrt{c_2 + c_3 x^2}} < \arctan(x) < \frac{x}{d_1 + \sqrt{d_2 + d_3 x^2}}$ の最もタイトな二重不等式は何か？
• RQ2 定数 $c_1, c_2, c_3$ および $d_1, d_2, d_3$ を解析的に最適化し、境界の最大相対誤差を最小化できるか？
• RQ3 相対誤差を解析的に評価し、そのタイトさを定量的に記述できるか？
• RQ4 導出された二重不等式は鋭いか？すなわち、係数三重組のいずれの定数も不等式を破壊せずに改善できないか？
• RQ5 証明の根拠となる差分関数 $\Delta_f(x)$ および $\Delta_h(x)$ の単調性および臨界点の挙動はいかなるものか？

主な発見

• 提案された下限 $f(x) = \frac{x}{\frac{4}{\pi^2} + \sqrt{\left(1 - \frac{4}{\pi^2}\right)^2 + \frac{4x^2}{\pi^2}}}$ は最大相対誤差約 0.27% を達成する。
• 提案された上限 $h(x) = \frac{x}{1 - \frac{6}{\pi^2} + \sqrt{\left(\frac{6}{\pi^2}\right)^2 + \frac{4x^2}{\pi^2}}}$ は最大相対誤差約 0.23% を達成する。
• 二重不等式 $|f(x)| \leq |\arctan(x)| \leq |h(x)|$ はすべての実数 $x$ に対して成り立ち、境界が鋭いことが証明されている。すなわち、係数三重組のいずれの成分も不等式を破壊せずに改善できない。
• 相対誤差は解析的に評価されており、$\max(r_f(x), r_h(x)) \leq \frac{h(x) - f(x)}{f(x)}$ および $\frac{h(x) - f(x)}{h(x) + f(x)}$ がタイトな中間的上限として機能する。
• 差分関数 $\Delta_f(x)$ および $\Delta_h(x)$ が非負であり、$x > 0$ に対して正確に一つの最大値を持つことが示され、二重不等式の妥当性が裏付けられる。
• 解析により、関数 $f(x)$、$\arctan(x)$、$h(x)$ が点対称であることが確認され、不等式の検証は $x \geq 0$ の範囲でのみ行えば十分である。