[論文レビュー] A sharp Trudinger-Moser inequality on any bounded and convex planar domain

Guozhen Lu, Qiaohua Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、WangとYeによる、任意の有界で凸な平面領域における鋭いTrudinger-Moser不等式に関する予想を、リーマン写像定理を用いて問題を単位円板に移行させることで確認する。ここでは、再配列を用いない手法により、強化されたTrudinger-Moser不等式が確立される。主な結果は、最適定数 $4\pi$ と、領域にのみ依存する有限の境界を持つ不等式の有効性であり、滑らかでない境界の仮定がなくても成り立つ。

ABSTRACT

Wang and Ye conjectured in [22]: Let $Ω$ be a regular, bounded and convex domain in $\mathbb{R}^{2}$. There exists a finite constant $C(Ω)>0$ such that \[ \int_Ωe^{\frac{4πu^{2}}{H_{d}(u)}}dxdy\le C(Ω),\;\;\forall u\in C^{\infty}_{0}(Ω), \] where $H_{d}=\int_Ω| abla u|^{2}dxdy-\frac{1}{4}\int_Ω\frac{u^{2}}{d(z,\partialΩ)^{2}}dxdy$ and $d(z,\partialΩ)=\min\limits_{z_{1}\in\partialΩ}|z-z_{1}|$.} The main purpose of this paper is to confirm that this conjecture indeed holds for any bounded and convex domain in $\mathbb{R}^{2}$ via the Riemann mapping theorem (the smoothness of the boundary of the domain is thus irrelevant). We also give a rearrangement-free argument for the following Trudinger-Moser inequality on the hyperbolic space $\mathbb{B}=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}<1\}$: \[ \sup_{\|u\|_{\mathcal{H}}\leq 1} \int_{\mathbb{B}}(e^{4πu^{2}}-1-4πu^{2})dV=\sup_{\|u\|_{\mathcal{H}}\leq 1}\int_{\mathbb{B}}\frac{(e^{4πu^{2}}-1-4πu^{2})}{(1-|z|^{2})^{2}}dxdy< \infty, \] by using the method employed earlier by Lam and the first author [9, 10], where $\mathcal{H}$ denotes the closure of $C^{\infty}_{0}(\mathbb{B})$ with respect to the norm $$\|u\|_{\mathcal{H}}=\int_{\mathbb{B}}| abla u|^{2}dxdy-\int_{\mathbb{B}}\frac{u^{2}}{(1-|z|^{2})^{2}}dxdy.$$ Using this strengthened Trudinger-Moser inequality, we also give a simpler proof of the Hardy-Moser-Trudinger inequality obtained by Wang and Ye [22].

研究の動機と目的

• WangとYeが提起した予想、すなわち $\mathbb{R}^2$ 内の任意の有界で凸な領域に対して、有限の鋭いTrudinger-Moser不等式が存在することを解決すること。
• 対称化や再配列技術に依存しない、双曲空間 $\mathbb{B}$ 上での強化されたTrudinger-Moser不等式の確立。
• 強化された不等式を用いて、Hardy-Moser-Trudinger不等式の新たな、より単純な証明を提供すること。
• 共形写像の下でTrudinger-Moser不等式の鋭い定数が保存されることを示し、一般の凸領域へ拡張すること。

提案手法

• 任意の有界で凸な平面領域 $\Omega$ を、関数の構造を保つ共形写像により単位円板 $\mathbb{B}$ に写像する。
• LamとLu [9,10] のインスピレーションを受けて、再配列を用いない手法を適用し、重み $\frac{1}{(1-|z|^2)^2}$ を含む $\mathbb{B}$ 上での鋭いTrudinger-Moser不等式を導出する。
• 積分推定と共形不変性を用いて、不等式 $\sup_{\|u\|_{\mathcal{H}} \leq 1} \int_{\mathbb{B}} \frac{e^{4\pi u^2} - 1 - 4\pi u^2}{(1-|z|^2)^2} dx dy < \infty$ を確立する。
• Dirichletエネルギーとハーディー型項の共形不変性を用い、領域 $\Omega$ 上の重み $\frac{1}{d(z,\partial\Omega)^2}$ を、共形写像のヤコビアンを介して $\mathbb{B}$ 上の双曲的重みに関連付ける。
• 重み付き $L^2$-ノルムを制御するため、改善されたハーディー不等式 $\int_{\Omega} |\nabla u|^2 dx dy - \frac{1}{4} \int_{\Omega} \frac{u^2}{d(z,\partial\Omega)^2} dx dy \geq C \int_{\Omega} u^2 dx dy$ を適用する。
• 重み付きTrudinger-Moserの境界を $\mathbb{B}$ 上で確立し、共形変換とヤコビアンの点ごとの下界を組み合わせることで、最終的な不等式を $\Omega$ 上で導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wang-Yeの予想は、境界の滑らかさに依存せず、$\mathbb{R}^2$ 内の任意の有界で凸な領域に対して成り立つか？
• RQ2 再配列を用いない手法を用いて、双曲空間および関連領域における鋭いTrudinger-Moser不等式を確立できるか？
• RQ3 ハーディー型補正項を含む場合、Trudinger-Moser不等式の指数における定数 $4\pi$ が最適であるか？
• RQ4 双曲的Trudinger-Moser不等式の共形不変性を活用して、任意の凸領域への結果の拡張が可能か？
• RQ5 共形写像の下で、境界への距離 $d(z,\partial\Omega)$ と双曲的計量との正確な関係は何か？

主な発見

• Wang-Yeの予想が確認された：任意の有界で凸な領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ に対して、$\int_{\Omega} \exp\left(\frac{4\pi u^2}{H_d(u)}\right) dx dy \leq C(\Omega)$ がすべての $u \in C_0^\infty(\Omega)$ に対して成り立つような有限定数 $C(\Omega)$ が存在する。ここで $H_d(u) = \int_{\Omega} |\nabla u|^2 dx dy - \frac{1}{4} \int_{\Omega} \frac{u^2}{d(z,\partial\Omega)^2} dx dy$ である。
• 双曲的円板上での強化されたTrudinger-Moser不等式が証明された：$\sup_{\|u\|_{\mathcal{H}} \leq 1} \int_{\mathbb{B}} \frac{e^{4\pi u^2} - 1 - 4\pi u^2}{(1-|z|^2)^2} dx dy < \infty$ であり、定数 $C_2$ は $u$ に依存しない。
• 証明は対称化を避け、共形不変性と点ごとの推定に依存しており、Hardy-Moser-Trudinger不等式に対する新たな、より単純なアプローチを提供する。
• 指数における最適定数 $4\pi$ は共形写像の下で保存され、すべての有界で凸な領域にわたって一様に成り立つ。
• 改善されたハーディー不等式 $\int_{\Omega} |\nabla u|^2 dx dy - \frac{1}{4} \int_{\Omega} \frac{u^2}{d(z,\partial\Omega)^2} dx dy \geq C_6 \int_{\Omega} u^2 dx dy$ を用いて、$L^2$-ノルムを制御し、推定を閉じる。
• 最終的な $\int_{\Omega} e^{4\pi u^2} dx dy$ の境界が、変換された領域と双曲的重みを介した不等式の鎖を経由して、$\Omega$ のみに依存する定数によって一様に有界であることが示された。