[論文レビュー] A sharp Trudinger-Moser type inequality involving $L^{n}$ norm in the entire space $\mathbb{R}^{n}$

Guozhen Lu, Maochun Zhu|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ソボレフ空間 $W^{1,n}(\mathbb{R}^n)$ に属する関数の $L^n$ ノルムを含む、全空間 $\mathbb{R}^n$ 上での鋭いトゥジンガー＝モーザー型不等式を確立する。この不等式の上界が有限であるための必要十分条件は $\alpha < 1$ であり、十分に小さい $\alpha > 0$ に対して上界が達成されることを証明する。証明は、関数の汎関数に関連するオイラー＝ラグランジュ方程式の吹き上がり解析に依拠している。

ABSTRACT

Let $W^{1,n} ( \mathbb{R}^{n} $ be the standard Sobolev space and $\left\Vert \cdot ight\Vert _{n}$ be the $L^{n}$ norm on $\mathbb{R}^n$. We establish a sharp form of the following Trudinger-Moser inequality involving the $L^{n}$ norm \[ \underset{\left\Vert u ight\Vert _{W^{1,n}\left(\mathbb{R} ^{n} ight) }=1}{\sup}\int_{ \mathbb{R}^{n}}Φ\left( α_{n}\left\vert u ight\vert ^{\frac{n}{n-1}}\left( 1+α\left\Vert u ight\Vert _{n}^{n} ight) ^{\frac{1}{n-1}} ight) dx0$ is sufficiently small. The proof is based on the method of blow-up analysis of the nonlinear Euler-Lagrange equations of the Trudinger-Moser functionals. Our result sharpens the recent work \cite{J. M. do1} in which they show that the above inequality holds in a weaker form when $Φ(t)$ is replaced by a strictly smaller $Φ^*(t)=e^{t}-\underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum}}% \frac{t^{j}}{j!}$. (Note that $Φ(t)=Φ^*(t)+\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}$).

研究の動機と目的

• 関数の $W^{1,n}$ ノルムと $L^n$ ノルムを併用する、非有界領域 $\mathbb{R}^n$ 上での鋭いトゥジンガー＝モーザー型不等式を確立すること。
• 関数の $W^{1,n}$ ノルムと $L^n$ ノルムを含むトゥジンガー＝モーザー汎関数の上界の有限性の正確な閾値を特定すること。
• すべての $\alpha > 0$ が十分に小さい場合に、その汎関数の最大値が $W^{1,n}(\mathbb{R}^n)$ 内に達成されることを証明すること。
• 従来の不等式において切り捨て関数 $\Phi^*(t)$ を用いていたのを、完全な関数 $\Phi(t) = e^t - \sum_{j=0}^{n-2} \frac{t^j}{j!}$ に置き換えることにより、不等式を精緻化・鋭くすること。

提案手法

• 著者たちは、トゥジンガー＝モーザー汎関数を最大化する列の集中・コンパクトネスの挙動を調べるために、吹き上がり解析を用いる。
• 汎関数に関連するオイラー＝ラグランジュ方程式を解析し、吹き上がりの型と漸近的推定を導出する。
• 点に集中するように構成されたテスト関数 $u_\varepsilon$ を、切断関数とスケーリングを用いて、吹き上がりの挙動をモデル化する。
• 関数の汎関数の精密な漸近的展開を、$\varepsilon$、$R = \log(1/\varepsilon)$、および極限プロファイルの $L^n$ ノルムに関して用いる。
• 関数の汎関数を小さな球 $B_{R\varepsilon}$ 内とその補集合に分け、集中の寄与と尾部挙動の寄与を推定する。
• 既知の極値関数との比較により、$\alpha \geq 1$ のとき上界が発散することを示すことで、定数 $\alpha_n$ の鋭さを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数の $\|u\|_{W^{1,n}}$ と $\|u\|_n$ を含むトゥジンガー＝モーザー汎関数が $\mathbb{R}^n$ で有界のままであるような最適な定数 $\alpha$ は何か？
• RQ2 どの $\alpha$ の値に対して、その汎関数の上界が有限であり、どの値で無限大になるか？
• RQ3 すべての $\alpha > 0$ が十分に小さい場合に、その汎関数の上界が $W^{1,n}(\mathbb{R}^n)$ 内で最大値を達成する関数を持つのか？
• RQ4 非有界領域におけるトゥジンガー＝モーザー不等式の鋭い定数と構造に、$L^n$ ノルムの組み込みがどのように影響を与えるか？

主な発見

• トゥジンガー＝モーザー汎関数の上界が有限であるための必要十分条件は $\alpha < 1$ であり、鋭い定数は $\alpha_n = n\omega_{n-1}^{1/(n-1)}$ である。
• $\alpha \geq 1$ のとき、上界は無限大であり、閾値の鋭さが示された。
• すべての $\alpha > 0$ が十分に小さい場合、上界は $W^{1,n}(\mathbb{R}^n)$ 内のある関数によって達成され、最大値の存在が証明された。
• 従来の不等式（$\Phi^*(t)$ を用いたもの）よりも、関数 $\Phi(t) = \Phi^*(t) + \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}$ のほうが汎関数が厳密に大きいことから、厳密な改善が示された。
• 吹き上がり解析により、極値関数が点に集中することが確認され、漸近的挙動は極限プロファイルの $L^n$ ノルムによって制御される。
• 証明により、古典的なトゥジンガー＝モーザー不等式が非有界領域では成立しないにもかかわらず、$\alpha \geq 1$ のとき汎関数が発散することを示した。