[論文レビュー] A Shelling of the Odd Second Hypersimplex

Benjamin Braun, Liam Solus|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、奇数 n に対して第二ハイパーシンプレックスの部分多面体として r-安定ハイパーシンプレックスを導入し、既知のユニモジュラー三角形分割がこれらの部分多面体に制限されることを示す。この三角形分割のシェーリングを構成し、独立多項式を用いて Ehrhart h*-多項式を計算することで、Ehrhart-MacDonald対蹠性を通じてレンズ空間へのCR写像との関係を明らかにする。

ABSTRACT

Hypersimplices are well-studied objects in combinatorics, optimization, and representation theory. For each hypersimplex, we define a new family of subpolytopes, called r-stable hypersimplices, and show that a well-known regular unimodular triangulation of the hypersimplex restricts to a triangulation of each r-stable hypersimplex. For the case of the second hypersimplex defined by the two-element subsets of an n-set with n odd, we provide a shelling of this triangulation that sequentially shells each r-stable sub-hypersimplex. In this case, we utilize the shelling to compute the Ehrhart h*-polynomials of these polytopes, and the hypersimplex, via independence polynomials of graphs. For one such r-stable hypersimplex, this computation yields a connection to CR mappings of Lens spaces via Ehrhart-MacDonald reciprocity.

研究の動機と目的

• n が奇数のとき、第二ハイパーシンプレックスの部分多面体として r-安定ハイパーシンプレックスを定義し、それらを研究すること。
• 第二ハイパーシンプレックスに既知の正則ユニモジュラー三角形分割が存在し、それが各 r-安定ハイパーシンプレックスに制限されることを示すこと。
• 各 r-安定部分ハイパーシンプレックスを段階的にシェーリングする三角形分割のシェーリングを構成すること。
• 関連するグラフの独立多項式を用いて、r-安定ハイパーシンプレックスおよび全ハイパーシンプレックスの Ehrhart h*-多項式を計算すること。
• Ehrhart-MacDonald対蹠性を通じて、h*-多項式とレンズ空間へのCR写像との間の関係を確立すること。

提案手法

• n が奇数のとき、n 要素集合の2要素部分集合の r-安定部分集合に対応する第二ハイパーシンプレックスの部分多面体として r-安定ハイパーシンプレックスを定義する。
• 第二ハイパーシンプレックスに既知の正則ユニモジュラー三角形分割を用い、それが各 r-安定ハイパーシンプレックスに制限されることを証明する。
• 各新しい単体が直前の単体の和集合と面の和集合に交わるような順序で単体を並べることで、三角形分割のシェーリングを構成する。
• r-安定部分集合から導かれる特定のグラフの独立多項式として、r-安定ハイパーシンプレックスの Ehrhart h*-多項式を表現する。
• h*-多項式に Ehrhart-MacDonald 対蹠性を適用し、それらの多項式とレンズ空間への CR 写像との関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数 n に対して、第二ハイパーシンプレックスの部分多面体として r-安定ハイパーシンプレックスをどのように定義できるか？
• RQ2 第二ハイパーシンプレックスの標準的ユニモジュラー三角形分割が、各 r-安定ハイパーシンプレックスに制限されるか？
• RQ3 r-安定ハイパーシンプレックスの三角形分割に対して、その階層的構造を尊重するシェーリングを構成できるか？
• RQ4 r-安定ハイパーシンプレックスの Ehrhart h*-多項式と関連するグラフの独立多項式との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 Ehrhart-MacDonald 対蹠性により、これらの多面体の h*-多項式がレンズ空間への CR 写像と関連づけられるか？

主な発見

• 第二ハイパーシンプレックスの標準的ユニモジュラー三角形分割は、各 r-安定ハイパーシンプレックスに制限される。
• 各 r-安定部分ハイパーシンプレックスを段階的にシェーリングする三角形分割のシェーリングが構成された。
• r-安定ハイパーシンプレックスの Ehrhart h*-多項式は、特定のグラフの独立多項式として計算された。
• 全第二ハイパーシンプレックスの h*-多項式も、同じグラフ論的手法を用いて計算された。
• Ehrhart-MacDonald 対蹠性により、ある r-安定ハイパーシンプレックスの h*-多項式がレンズ空間への CR 写像と関連づけられた。