[論文レビュー] A Short Course on One-Dimensional Random Schrödinger Operators

David Damanik|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、1次元の確率的シュレーディンガー作用素について、リーマン指数のためのF"urstenbergの定理とKunz-Souillard法の2つの主要なアプローチを用いて局在現象を焦点に、包括的な入門を提供する。一般のi.i.d.確率的ポテンシャルに対して、離散的および連続的モデルの両方において、スペクトル的局在性と力学的局在性を確立し、適切なポテンシャル分布の条件下で固有関数の指数的減衰および時間発展演算子の空間的均等局在性を証明する。

ABSTRACT

We discuss various approaches to localization results for one-dimensional random Schrödinger operators, both discrete and continuum. We focus in particular on the approach based on Fürstenberg's Theorem and the Kunz-Souillard method. These notes are based on a series of five one-hour lectures given at University College London in June/July 2011.

研究の動機と目的

• 1次元の確率的シュレーディンガー作用素におけるスペクトル的局在性と力学的局在性について、自己完結的で大学院レベルの入門を提供すること。
• F"urstenbergの定理によるリーマン指数の解析的アプローチと、Kunz-Souillard法による局在性の2つの主要な分析的手法を提示し、比較すること。
• 確率的ポテンシャルの分布に適した条件下で、ランダムなシュレーディンガー作用素が純粋点スペクトルを示し、固有関数が指数的に減衰することを確立すること。
• 力学的局在性の結果を導出し、すべての時間において量子時間発展の空間的均等局在性を示すこと。
• 1次元の状況は高次元の設定に比べてあまりカバーされていないため、そのギャップを埋める、アクセスしやすい解説の不足を補うこと。

提案手法

• 離散的および連続的両設定において、転送行列の正のリーマン指数の存在をF"urstenbergの定理を用いて証明する。
• 確率的ポテンシャル空間上のエルゴード理論を用いて、Oseledec-Ruelleの定理によりリーマン指数の存在を確立する。
• スペクトル平均化技術を用いて、確率的作用素のスペクトル測度を自由作用素のものと関連づけ、局在性の証明を可能にする。
• Kunz-Souillard法を用いて、時間発展演算子の行列要素を転送行列のノルムおよび積分核を用いて評価する。
• RAGEの定理と関数計算を適用し、力学的局在性の推定からスペクトル的局在性を導出する。
• 転送行列積の作用素ノルムに一様な上限を確立し、コンパクトスペクトル集合内においてエネルギーに依存しない減衰率を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元の確率的シュレーディンガー作用素が、指数的に減衰する固有関数を伴うスペクトル的局在性を示す条件は何か？
• RQ2 F"urstenbergの定理を用いて、確率的シュレーディンガー作用素の正のリーマン指数をどのように厳密に確立できるか？
• RQ3 Kunz-Souillard法を用いて、離散的および連続的両モデルに対して力学的局在性を証明できるか？
• RQ4 1次元の確率的系において、力学的局在性とスペクトル的局在性の関係は何か？
• RQ5 スペクトル的および力学的性質は、特に特異的またはcompactly supportedな分布の場合に、確率的ポテンシャルの分布にどのように依存するか？

主な発見

• コンパクトに台を持つ分布を持つi.i.d.確率的ポテンシャルに対して、リーマン指数はほとんど確実に正であり、1次元設定における局在性を保証する。
• Kunz-Souillard法により、時間発展演算子の行列要素に対する一様な上限が得られ、空間的指数的減衰の形で力学的局在性が得られる。
• 転送行列積の2乗の作用素ノルムは、コンパクトスペクトル集合上で1未満に厳密に小さくなり、指数的減衰推定が可能になる。
• RAGEの定理と関数計算を用いて、力学的局在性から指数的に減衰する固有関数を伴うスペクトル的局在性が導かれる。
• ほとんどすべてのポテンシャルの実現に対して、シュレーディンガー作用素は純粋点スペクトルを持ち、固有関数は任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して $ e^{-(\gamma-\varepsilon)|n|} $ のように減衰する。
• 結果は離散的および連続的両モデルに一様に成立し、両設定に共通する基本的なメカニズムが適用可能である。